三角函數的和差角公式
和角公式︰
下圖,圓直徑 AC=1,∠ABC=∠AEC=∠AFE=∠CDE=∠AGC=90°,且D、E、F三點在同一直線。
∠CAE=α,∠EAF=∠CED=β,∠ACG=α+β。
CE=sinα,AE=cosα;
CD=sinα sinβ,DE=sinα
cosβ;
AF=cosα cosβ,EF=cosα
sinβ;
AG=sin(α+β)=DF=DE+EF=sinα
cosβ+cosα sinβ。
GC=cos(α+β)=AB=AF-BF=AF-CD= cosα
cosβ-sinα sinβ。
所以sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ 且 cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ。
差角公式︰
下圖,圓直徑 AC=1,∠ABC=∠AEC=∠BDE=∠EFB=90°,,且C、E、F三點在同一直線。
∠CAB=α,∠EAB=∠BCF=β,∠CAE=α-β。
CB=sinα,AB=cosα,CE=sin(α-β);
BD=cosα sinβ=EF,AD=cosα
cosβ;
BF=sinα sinβ,
CF=sinα cosβ=CE+EF=sin(α-β)+cosα
sinβ。
AE=cos(α-β)=AD+DE=AD+BF=cosα
cosβ+sinα sinβ。
所以sin(α-β)=sinα cosβ-cosα sinβ 且cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ。
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