1、3、6、10、15、21、28 .....是一列三角數，如果以T_n表示第n個三角數，
則T_n = n(n+1)/2。

(圖一) 是T₃ + T₄ =  4² 的圖示，如果推廣之，可得   T_n-1+ T_n =  n² 。 
這是因為 T_n-1+ T_n =  (n-1)(n-1+1)/2+n(n+1)/2=n(n-1+n+1)/2 = 2n²/2  = n² 。
(圖二) 是 2T₄ = 4 × 5的圖示，如果推廣之，可得2Tn = n(n+1)。
這是因為2Tn=2n(n+1)/2 = n(n+1)。
(圖三) 是 T_2×4=2T₄+4²的圖示，如果推廣之，可得T_2×n=2T_n+n²。
這是因為 T_2×n=(2n)(2n+1)/2 = n(2n+1)=2n²+n = n²+n+n² = [2(n²+n)/2]+n² =2T_n+n²。

(圖四) 是 T_2×4+1=3T₄+T₅的圖示，如果推廣之，可得T_2n+1=3T_n+T_n+1。
這是因為 T_2n+1=(2n+1)(2n+2)/2 = (2n+1)(n+1)；而且3T_n+T_n+1= 3[n(n+1)/2]+[(n+1)(n+2)/2] = (n+1)[(3n+n+2)/2] = (2n+1)(n+1)。
同學可以試試說明以下關係式：
1.   T_m+n = T_m + T_n + m×n

2.   如果 n > m ，則 T_m + T_n = T_n-m + m×(n+1)