1、3、6、10、15、21、28 .....是三角數數列，

以$T_n$表示第n個三角數，則 $T_n=\frac{n(n+1)}{2}$。

圖二，2T₄ = 4 × 5，推廣可得2Tn = n(n+1)。
2Tn=$\frac{2n(n+1)}{2} =$n(n+1)。

圖三，T_2×4=2T₄+4²，推廣可得 T_2n=2T_n+n²。
T_2n=$\frac{(2n)(2n+1)}{2}$= n(2n+1)= (n²+n)+n² = $2\frac{n(n+1)}{2}$+n²=2T_n+n² 。

 圖四，是 T_2×4+1=3T₄+T₅，推廣可得T_2n+1=3T_n+T_n+1。
T_2n+1=$\frac{(2n+1)(2n+2)}{2} =$ (2n+1)(n+1)；

3T_n+T_n+1=3$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2} =$(n+1)$\frac{3n+n+2}{2}$  = (n+1)(2n+1)。

可推廣得下列關係式：

1.    T_m+n = T_m +  T_n + mn

2.   如果 n > m ，則 T_m + T_n = T_n-m + m(n+1)