整除的十位數


一位數3可以被1整除,二位數34可以被2整除,三位數342可以被3整除,3428四位數可以被4整除,34285五位數可以被5整除,可是342856和342850六位數無法被6整除。

那麼是否「存在十位數是由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9組成,每一位數字都不同,而且其前n位數可以被n整除呢?例如:一位數(十億位數字)被1整除,二位數(十億位數字×10+億位數字)被2整除,三位數(十億位數字×100+億位數字×10+千萬位數字)被3整除,依此類推,最後十位數被10整除。」...(1)

假設有十位數abcdefghij(其中j是個位數字,i是十位數字,h是百位數字,g是千位數字,....,a是十億位數字)滿足上述條件(1),因為五位數abcde被5整除且十位數abcdefghij被10整除,因此e必為5且j必為0。因為2的倍數、4的倍數、6的倍數和8的倍數的個位數字一定是偶數,所以b、d、f、h、j都是偶數,因此a、c、e、g、i都是奇數。 

因為六位數abcdef被6整除,則abcdef是2和3的公倍數,所f可能值有2、4、6、8。因為三位數abc是3的倍數且abcdef也是3的倍數,所以d+e+f是3的倍數。因此def可能值如下:

d e f
2 5 8
4 5 6
6 5 4
8 5 2

     

 

 

 

因為八位數abcdefgh被8整除,即abcde×1000+fgh=abcde×(8×125)+fgh被8整除,所以fgh這個三位數被8整除。因此

d e f g h
2 5 8 1 6
4 5 6 3,7 2
6 5 4 3,7 2
8 5 2 1,5,9 6

 

 

 

 

因為b是偶數,所以

b c d e f g h
4   2 5 8 1 6
8   4 5 6 3,7 2
8   6 5 4 3,7 2
4   8 5 2 1,5,9 6

 

 

 

 

因為四位數abcd被4整除,即ab×100+cd=ab×(4×25)+cd被4整除,所以cd這個二位數被4整除。且七位數abcdefg被7整除,即abcdefg=a×1000000+bcd×1000+efg=a×(142857×7+1)+bcd×(143×7−1)+efg=7×(142857a+143×bcd)+(a+efgbcd)被7整除,所以(a+efg)−bcd被7整除。已知a和c都是奇數且a+b+c被3整除,因此

a b c d e f g h
不存在 4 3,7,9 2 5 8 1 6
不存在 8 不存在 4 5 6 3,7 2
不存在 8 7,9 6 5 4 3 2
3 8 1 6 5 4 7 2
不存在 4 不存在 8 5 2 1,5,9 6

 

 

 

 

 

因為j必為0,因此此數是3816547290,而且是唯一的。所以只有一個十位數是由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9組成,每一位數字都不同,而且其前n位數可以被n整除,此數只有一個,它是3816547290

 


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