被n整除的n位數

被n整除的前n位數 (n=1~10)

以五位數34285為例，其中前一位數3被1整除，前二位數34被2整除，前三位數342被3整除，前四位數3428被4整除，前五位數34285被5整除。

「那麼是否存在有一個10位數，其每一位數字都不同，由最高位起，最高位數被1整除。最高位數和下一位數組成二位數被2整除，為了方便下列討論，就稱是前二位數被2整除。前三位數被3整除，前四位數被4整除，....，前10位數(即原來10位數自己)被10整除。」

假設十位數abcdefghij，j是個位數字，i是十位數字，h是百位數字，g是千位數字，....，a是十億位數字。其中每一位數字是0~9等十個整數中的一個數，而且數字不重複。

前五位數abcde被5整除，前十位數abcdefghij被10整除，因此e=5，j=0。
而2的倍數、4的倍數、6的倍數和8的倍數的個位數字一定是偶數，所以b、d、f、h、j都是偶數，而且a、c、e、g、i都是奇數。

前六位數abcdef被6整除，abcdef是2和3的公倍數，f可能值是2、4、6、8。

前三位數abc是3的倍數且abcdef也是3的倍數，所以d+e+f是3的倍數。綜合上述知def可能值如下：

d	e	f
2	5	8
4	5	6
6	5	4
8	5	2

前八位數abcdefgh被8整除，因為abcdefgh=abcde×1000+fgh=abcde×(8×125)+fgh，所以三位數fgh被8整除。

( g是奇數，h是偶數 )

d	e	f	g	h
2	5	8	1	6
4	5	6	3，7	2
6	5	4	3，7	2
8	5	2	1，5，9	6

( b是偶數 )

b	d	e	f	g	h
4	2	5	8	1	6
8	4	5	6	3，7	2
8	6	5	4	3，7	2
4	8	5	2	1，5，9	6

前四位數abcd被4整除，abcd=ab×100+cd=ab×(4×25)+cd，所以cd被4整除。
前七位數abcdefg被7整除，
abcdefg=a×1000000+bcd×1000+efg
=a×(142857×7+1)+bcd×(143×7-1)+efg
=7×(142857a+143×bcd)+(a-bcd+efg)
所以(a+efg)-bcd被7整除。

已知a和c都是奇數，而且a+b+c被3整除

a	b	c	d	e	f	g	h
不存在	4	3，7，9	2	5	8	1	6
不存在	8	不存在	4	5	6	3，7	2
不存在	8	7，9	6	5	4	3	2
3	8	1	6	5	4	7	2
不存在	4	不存在	8	5	2	1，5，9	6

因為j=0，所以合乎條件的十位數是3816547290。