計程車數

英國數學家哈代曾評論印度數學家拉瑪奴江：「他在某些知識上的缺陷如同他所創造知識的深刻一樣令人吃驚。這是一個能夠發現模形式(數論範疇)和定理的人……，他對連分數的掌握……超越任何一個數學家，他發現了ζ函數的泛函方程和解析數論中的很多著名問題的主導項；但是他卻沒有聽說過雙周期函數或者柯西定理，對複變函數也只是模糊的概念............... 」

自古文人相輕，這兩人卻是惺惺相惜，二十世紀最美麗的數學界故事是這樣開始的，在西元1913年拉瑪奴江(S. Ramanujan)寫了一張長達數頁的信件給三個英國劍橋的學術界人士貝克(H. F. Baker)、霍布森(E. W. Hobson)、哈代(G. H. Hardy)，信中寫了許多複雜的公式與定理，但是只有劍橋大學三一學院的院士哈代(G. H. Hardy)注意到這位年僅23歲年輕人拉瑪奴江在眾多定理中所展現出來的直覺數感。

拉瑪奴江曾寄給哈代的信件︰「尊敬的先生，謹自我介紹如下，我是馬德拉斯港務信託處的一個職員，年薪只有20英鎊，23歲，我沒有接受過大學教育，可是已完成普通中學課程，在離開學校後我仍利用閒暇時間研究數學，我自修學習大學課程，並用自己的方式，對一般的發散級數做了深入的研究，本地的數學家們說，我所得到的結果是令人驚奇的...............」

哈代讀著遠從8000公里外的一個沒有接受過大學教育的南印度數學喜好者的突兀來信，哈代和他的同事利特爾伍德(J.E. Littlewood)認真檢核過拉瑪奴江的定理，發現有些定理的確是走在時代尖端的。雖然拉瑪奴江所寫的一些公式或定理都是哈代的研究領域，但是哈代還是稱許拉瑪奴江，「完全打敗了我；我從沒見過任何像這樣的東西。」，後來哈代推薦拉瑪奴江到劍橋大學深造。

拉瑪奴江(S. Ramanujan)的公式裡經常出現無窮級數或連分數，例如

其中Φ是黃金分割比值(1+√5)/2。

拉瑪奴江(S. Ramanujan)生病住院，哈代搭乘計程車去醫院探望，閒聊中說出計程車車牌號是1729，並開玩笑的說︰「希望1729不是不祥的數字」，拉瑪奴江展現其過人的數感天賦，說︰「1729是一個有趣的數，它是能用兩種方法表示成為兩個立方數相加和的最小整數」，也就是說 1729=1³+12³=9³+10³。其實，早在西元1657年貝斯(B. F. de Bessy) 也發現這個數及其表示法。

後人將可用n個不同的方法表示成兩個正立方數和的整數稱做第n個計程車數(Taxicab number)，一般寫作Ta(n)或Taxicab(n)。至目前只尋找到6個計程車數，在2008年找到Ta(6)。

Ta(1)=2=1³+1³

Ta(2)=1729=1³+12³=9³+10³

Ta(3)=87539319=167³+436³=228³+423³=255³+414³

Ta(4)=6963472309248=2421³+19083³=5436³+18948³=10200³+18072³=13322³+16630³

Ta(5)=48988659276962496=38787³+365757³=107839³+362753³=205292³+342952³=221424³+336588³=231518³+331954³

Ta(6)=24153319581254312065344=28906206³+582162³=28894803³+3064173³=28657487³+8519281³=

27093208³+16218068³=26590452³+17492496³=26224366³+1 8289922³