驚奇11的倍數

從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 中任選兩個數字，並組成二位數，例如選 3和 7，則二位數是37或73。將這二個二位數相加，再除以選出的二個數字和，(37+73)÷(3+7)=11，整除且得商數是11。

一般而言，從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 當中選定兩個數字a和b並組成一位數或二位數，得10a+b和10b+a。因為[(10a+b)+(10b+a)]÷(a+b)=11(a+b)÷(a+b)=11。所以從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 中選定兩個數字，這兩個數所組成的所有一位數或二位數字加總和除以選定的2個數字和，一定整除而且商數是11。

如果從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 中選定三個數字，例如選 0和 5和 8，再由這3個數的其中兩數組成所有可能的一位數或二位數，這些一位數或二位數可能是5、50、8、80、58、85，總共6個。將這6個數加總求和得 5+50+8+80+58+85=286，再除以0和 5和 8的數字和，286÷(0+5+8)=22，整除且得商數是22。

一般而言，從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 中任定三個數字a和b和c，由這三個數的其中兩數組成所有可能的一位數或二位數，這些一位數或二位數的可能值是(10a+b)和(10b+a)、(10a+c)和(10c+a)、(10b+c)和(10c+b)，總共6個。
因為[(10a+b)+(10b+a)+(10a+c)+(10c+a)+(10b+c)+(10c+b)]÷(a+b+c)=22(a+b+c)÷(a+b+c)=22。所以這6個數加總的和除以所選出的3個數字和，一定整除而且商數是22。

推而廣之，「由 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 其中選定n個數字，2 ≦ n ≦ 10，n個數字和是S。由這n個數字的其中兩數組成所有可能的一位數或二位數，共有n(n-1)個數。如果n(n-1)個數的加總和等於T，則T÷S = 11(n-1)。」

假設從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 中選定的n個數字是x₁、x₂、...、x_n，2 ≦ n ≦ 10。

可以組成的二位數總共有 n(n-1)個，加總求和得

10(n-1)x₁+(x₂+x₃+x₄+....+x_n)+
10(n-1)x₂+(x₁+x₃+x₄+....+x_n)+
10(n-1)x₃+(x₁+x₂+x₄+....+x_n)+

................................................

................................................+

10(n-1)x_n+(x₁+x₂+x₄₊....+x_n-1)=

10(n-1)(x₁+x₂+x₃+....+x_n)+(n-1)(x₁+x₂+x₃+....+x_n)=11(n-1)(x₁+x₂+x₃+....+x_n)。