sumcosnx

cos θ+cos 2θ+cos 3θ+.....+cos nθ

「是誰讓蜘蛛如棣美弗那般精確，不靠量尺準繩就設計出圖樣？」
英國詩人波普 (Alexander Pope) 在他的作品《人的讚禮》以這句話向棣美弗表達敬意。棣美弗在西元1707 年發現棣美弗定理 (De Moivre's Theorem)，西元1722 年正式發表 (cosθ+i sin θ)ⁿ= cos(nθ)+i sin(nθ)，其中n是正整數。西元1749年歐拉 (Euler)證明 n 是實數，該定理也成立。

西元1748年歐拉 (Euler)發表歐拉公式$e^{i\theta}$=cosθ+i sinθ。

如何計算 cos θ+cos 2θ+cos 3θ+.....+cos nθ=? sin θ+sin 2θ+sin 3θ+.....+sin nθ=?

假設P= cos θ+cos 2θ+cos 3θ+.....+cos nθ，Q=sin θ+sin 2θ+sin 3θ+.....+sin nθ，則

P+i Q=(cosθ+i sinθ)+(cos2θ+i sin2θ)+(cos3θ+i sin3θ)+....+(cosnθ+i sinnθ)=

$e^{i\theta}$+$e^{i2\theta}$+$e^{i3\theta}$+....+$e^{i n\theta}$=$\large\frac{e^{i\theta} (e^{in\theta}-1 )}{e^{i\theta}-1 }$=$\large\frac{ e^{i\theta} e^{i\frac{n\theta}{2}}(e^{i\frac{n\theta}{2}}- e^{-i\frac{n\theta}{2}})}{e^{i\frac{\theta}{2}}(e^{i\frac{\theta}{2}}- e^{-i\frac{\theta}{2}})}$=$\large\frac{ e^{i\frac{\theta}{2}} e^{i\frac{n\theta}{2}}(e^{i\frac{n\theta}{2}}- e^{-in\frac{n\theta}{2}})}{e^{i\frac{\theta}{2}}- e^{-i\frac{\theta}{2}}}$=$\large\frac{ e^{i\frac{(1+n)\theta}{2}} (e^{i\frac{n\theta}{2}}- e^{-in\frac{n\theta}{2}})}{e^{i\frac{\theta}{2}}- e^{-i\frac{\theta}{2}}}$=

$e^{i\frac{1+n}{2}\theta}$($\large\frac{sin\frac{n\theta}{2}}{sin\frac{\theta}{2}}$)=cos$\frac{(1+n)\theta}{2}$($\large\frac{sin\frac{n\theta}{2}}{sin\frac{\theta}{2}}$)+i sin$\frac{(1+n)\theta}{2}$($\large\frac{sin\frac{n\theta}{2}}{sin\frac{\theta}{2}}$)

所以 cos θ+cos 2θ+cos 3θ+.....+cos nθ=cos$\frac{(1+n)\theta}{2}$($\large\frac{sin\frac{n\theta}{2}}{sin\frac{\theta}{2}}$)，且
sin θ+sin 2θ+sin 3θ+.....+sin nθ=sin$\frac{(1+n)\theta}{2}$($\large\frac{sin\frac{n\theta}{2}}{sin\frac{\theta}{2}}$)

當 θ=1°且n=180，得 cos 1°+cos 2°+cos 3°+.....+cos 180°=$cos\frac{(1+180)^\circ}{2}$($\large\frac{sin\frac{180^\circ}{2}}{sin\frac{1^\circ}{2}}$)=-$sin\frac{1^\circ}{2}$($\large\frac{sin\frac{180^\circ}{2}}{sin\frac{1^\circ}{2}}$)=-1

當 θ=2°且n=90，得 cos 2°+cos 4°+cos 6°+.....+cos 180°=$cos\frac{(1+90)2^\circ}{2}$($\large\frac{sin\frac{90\times 2^\circ}{2}}{sin\frac{2^\circ}{2}}$)=-$sin\frac{2^\circ}{2}$($\large\frac{sin\frac{180^\circ}{2}}{sin\frac{2^\circ}{2}}$)=-1