正方形內兩互相垂直線

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正方形內兩互相垂直線

正方形ABCD，E點在AB，F點在CD，O點在EF。過O點作EF的垂直線GH，分別和BC和AD相交於G點和H點。那麼，AE+CF=BG+DH。如果J點在AE且K點在，則+=(1+ $\frac{\overline{FK}}{\overline{OK}}$ )×AB。

過O點作JK//AD，MN//AB。
因為∠1+∠3=∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2。
因為∠1=∠2，∠M=∠K=90°，所以直角三角形OMH相似於直角三角形OKF。
因為直角三角形OMH相似於直角三角形ONG，直角三角形OKF相似於直角三角形OJE，所以
直角三角形OMH、直角三角形ONG、直角三角形OKF、直角三角形OJE都相似。

假設AB=1，OK=m，JO=1-m，MO=n，ON=1-n，J點在AE且K點在CF，FK=a。則
JE= $(\dfrac{1}{m}-1)a$ ，NG= $\dfrac{1}{m}(1-n)a$ ，HM= $\dfrac{n}{m}a$ 。
因為JE+FK= $(\dfrac{1}{m}-1)a$ +a= $\dfrac{a}{m}$ ，且HM+NG= $\dfrac{n}{m}a$ + $\dfrac{1}{m}(1-n)a$ = $\dfrac{a}{m}$ ，所以JE+FK=HM+NG= $\dfrac{a}{m}$ ×AB。

因此AE+CF=AJ+JE+CK+FK=(AJ+CK)+JE+FK=AB+JE+FK=AB+ $\dfrac{a}{m}$ (1+ $\frac{\overline{FK}}{\overline{OK}}$ )×ABJ點不在(1+ $\frac{\overline{FK}}{\overline{OK}}$ )×AB=2AB-(AE+CF)。