正方形內兩互相垂直線
正方形ABCD,E點在AB,F點在CD,O點在EF。過O點作EF的垂直線GH,分別和BC和AD相交於G點和H點。那麼,AE+CF=BG+DH。如果J點在AE且K點在CF,則AE+CF=(1+¯FK¯OK)×AB。
過O點作JK//AD,MN//AB。
因為∠1+∠3=∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2。
因為∠1=∠2,∠M=∠K=90°,所以直角三角形OMH相似於直角三角形OKF。
因為直角三角形OMH相似於直角三角形ONG,直角三角形OKF相似於直角三角形OJE,所以
直角三角形OMH、直角三角形ONG、直角三角形OKF、直角三角形OJE都相似。
假設AB=1,OK=m,JO=1-m,MO=n,ON=1-n,J點在AE且K點在CF,FK=a。則
JE=(1m−1)a,NG=1m(1−n)a,HM=nma。
因為JE+FK=(1m−1)a+a=am,且HM+NG=nma+1m(1−n)a=am,所以JE+FK=HM+NG=am×AB。
因此AE+CF=AJ+JE+CK+FK=(AJ+CK)+JE+FK=AB+JE+FK=AB+am×AB=(1+¯FK¯OK)×AB。
如果J點不在AE,則(1+¯FK¯OK)×AB=2AB-(AE+CF)。
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