Processing math: 100%

正方形內兩互相垂直線

正方形ABCD,E點在AB,F點在CD,O點在EF。過O點作EF的垂直線GH,分別和BCAD相交於G點和H點。那麼AE+CF=BG+DH如果J點在AE且K點在CF,則AE+CF=(1+¯FK¯OK)×AB

過O點作JK//ADMN//AB
因為∠1+∠3=∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2。
因為∠1=∠2,∠M=∠K=90°,所以直角三角形OMH相似於直角三角形OKF。
因為直角三角形OMH相似於直角三角形ONG,直角三角形OKF相似於直角三角形OJE,所以
直角三角形OMH、直角三角形ONG、直角三角形OKF、直角三角形OJE都相似。

假設AB=1OK=m,JO=1-m,MO=n,ON=1-n,J點在AE且K點在CFFK=a。則
JE=(1m1)aNG=1m(1n)aHM=nma
因為JE+FK=(1m1)a+a=am,且HM+NG=nma+1m(1n)a=am,所以JE+FK=HM+NG=am×AB

因此AE+CF=AJ+JE+CK+FK=(AJ+CK)+JE+FK=AB+JE+FK=AB+am×AB=(1+¯FK¯OK)×AB
如果
J點不在AE,則(1+¯FK¯OK)×AB=2AB-(AE+CF)


Copyright ©昌爸工作坊 All Rights Reserved.