〈Mental Arithmetic〉畫中算術題
〈Mental Arithmetic. In Public School of S. A. Rachinsky〉是俄羅斯畫家Nikolay Bogdanov-Belsky 1895年的畫作,畫中黑板有一道計算題︰102+112+122+132+142365。
我們暫且擱下這道算術題,思考....
如果x和n都是自然數且x>n,則(x+n)2−(x−n)2=4nx。
因此(x+1)2−(x−1)2+(x+2)2−(x−2)2=4(1+2)x=12x,
如果x=12則(x+1)2−(x−1)2+(x+2)2−(x−2)2是平方數,且(12+1)2−(12−1)2+(12+2)2−(12−2)2=122,
即132−112+142−102=122。
延伸思考...
(x+1)2−(x−1)2+(x+2)2−(x−2)2+.....+(x+n)2−(x−n)2=4(1+2+....+n)x=
4×n(n+1)2x=
2n(n+1)x。
如果 x=2n(n+1),則
(x+1)2−(x−1)2+(x+2)2−(x−2)2+.....+(x+n)2−(x−n)2=4(1+2+....+n)x=(2n(n+1))2。
舉例,如果n=3,則x=24,而且252−232+262−222+272−212=242,
即252+262+272=212+222+232+242。
回到〈Mental Arithmetic〉畫中算術題︰102+112+122+132+142365。
因為132−112+142−102=122,所以132+142=102+112+122,因此
102+112+122+132+142365=2×(132+142)365=2×365365=2。
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