〈Mental Arithmetic〉畫中算術題

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〈Mental Arithmetic. In Public School of S. A. Rachinsky〉是俄羅斯畫家Nikolay Bogdanov-Belsky 1895年的畫作，畫中黑板有一道計算題︰ $\dfrac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365}$ 。

我們暫且擱下這道算術題，思考....

如果x和n都是自然數且x>n，則 $(x+n)^2-(x-n)^2=4nx$ 。

因此 $(x+1)^2-(x-1)^2+(x+2)^2-(x-2)^2=4(1+2)x=12x$ ，

如果x=12則 $(x+1)^2-(x-1)^2+(x+2)^2-(x-2)^2$ 是平方數，且 $(12+1)^2-(12-1)^2+(12+2)^2-(12-2)^2=12^2$ ，

即 $13^2-11^2+14^2-10^2=12^2$ 。

延伸思考...

$(x+1)^2-(x-1)^2+(x+2)^2-(x-2)^2+.....+(x+n)^2-(x-n)^2=4(1+2+....+n)x=$

$4\times\dfrac{n(n+1)}{2}x=$

$2n(n+1)x$ 。

如果 x=2n(n+1)，則

$(x+1)^2-(x-1)^2+(x+2)^2-(x-2)^2+.....+(x+n)^2-(x-n)^2=4(1+2+....+n)x=(2n(n+1))^2$ 。

舉例，如果n=3，則x=24，而且 $25^2-23^2+26^2-22^2+27^2-21^2=24^2$ ，

$25^2+26^2+27^2=21^2+22^2+23^2+24^2$ 。

回到〈Mental Arithmetic〉畫中算術題︰ $\dfrac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365}$ 。

因為 $13^2-11^2+14^2-10^2=12^2$ ，所以 $13^2+14^2=10^2+11^2+12^2$ ，因此

$\dfrac{2\times(13^2+14^2)}{365}=$ $\dfrac{2\times365}{365}=2$ 。