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Mental Arithmetic〉畫中算術題

 

Mental Arithmetic. In Public School of S. A. Rachinsky〉是俄羅斯畫家Nikolay Bogdanov-Belsky 1895年的畫作,畫中黑板有一道計算題︰102+112+122+132+142365

 

圖片出自Wikimedia Commons

 

 

我們暫且擱下這道算術題,思考....

 

如果x和n都是自然數且x>n,則(x+n)2(xn)2=4nx

 

因此(x+1)2(x1)2+(x+2)2(x2)2=4(1+2)x=12x

 

如果x=12則(x+1)2(x1)2+(x+2)2(x2)2是平方數,且(12+1)2(121)2+(12+2)2(122)2=122

132112+142102=122

 

延伸思考...

 

(x+1)2(x1)2+(x+2)2(x2)2+.....+(x+n)2(xn)2=4(1+2+....+n)x=

 

4×n(n+1)2x=

 

2n(n+1)x

 

如果 x=2n(n+1),則

 

(x+1)2(x1)2+(x+2)2(x2)2+.....+(x+n)2(xn)2=4(1+2+....+n)x=(2n(n+1))2

 

舉例,如果n=3,則x=24,而且252232+262222+272212=242

 

 252+262+272=212+222+232+242

 

回到〈Mental Arithmetic〉畫中算術題102+112+122+132+142365

 

因為132112+142102=122,所以132+142=102+112+122,因此

 

102+112+122+132+142365=2×(132+142)365=2×365365=2

 

 


 

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