總是平方數

2² + 3² + 6² = 49 = 7²

3²+ 4² + 12² =169 = 13²

4² + 5² + 20² = 441 = 21 ²

顯然，左式是 n²+(n+1)²+[n(n+1)]^2，n是自然數。

n²+(n+1)²+[n(n+1)]²= n²+n²+2n+1+n²(n²+2n+1)

= n⁴+2n³+3n²+2n+1 = (n⁴+2n³+n²)+(2n²+2n)+1

= n²(n+1)²+2n(n+1)+1⁼[n(n+1)]²+2n(n+1)+1²

= [n(n+1)+1]²=(n²+n+1)²

所以 n²+(n+1)²+[n(n+1)]² 總是平方數。