333s的平方

請觀察下列三個算術題

33²=1089，

333²=110889，

3333²=11108889，

你發現其中有甚麼規律嗎?

那麼，請你心算 $33333^2$

33333²=

1111088889

為什麼?....

$\underbrace{3\cdots3}_{ n 個 3 }{^2}=\underbrace{1\cdots1}_{ n 個 1 }{^2}{\times 9}$

$=\underbrace{1\cdots1}_{ n 個 1 }\times\underbrace{9\cdots9}_{ n 個 9}$

$=\underbrace{1\cdots1}_{ n 個 1 }{\times(10^n-1)}$

$=\underbrace{1\cdots1}_{ n個 1 }{\times 10^n}-\underbrace{1\cdots1}_{ n個 1 }$

$=\underbrace{1\cdots10}_{ n-1個 1 }{\times 10^{n}+10^n}-\underbrace{1\cdots1000}_{ n-3個1 }-200+89=$

$=\underbrace{1\cdots10}_{ n-1個 1 }{\times 10^n}+\underbrace{8\cdots8}_{ n-2個 8 }00+89$

$=\underbrace{1\cdots1}_{ n-2個 1 }{\times 10^{n+2}}+10\times{10^n}+\underbrace{8\cdots8}_{ n-2個 8 }00+89$。

比較33²=1089和 $\underbrace{3\cdots3}_{ n 個 3 }{^2}$的值，

顯然，$\underbrace{3\cdots3}_{ n 個 3 }{^2}$的值是在10前多n-2個1，89前多n-2個8。

例如︰333333²=111110888889