平分銅板

有一堆一元銅板總個數是一個平方數甲和乙兩人輪流從這一堆銅板堆裡一次拿出10個銅板,直到最後一輪甲還可拿出10個銅板,可是乙卻拿不足10個銅板。則甲需給乙多少個銅板,兩人的銅板數量才會一樣多?

因為兩人可以平分銅板,所以總數是偶數因此銅板總數是偶數的平方數
假設有n2個銅板,最後一輪第x輪還可以拿出10個銅板,但是乙只拿到 a 個 其中 a是整數且 0 < a ≦ 9 ,因此 n2 =2×10(x-1)+10+a=10(2x-1)+a
因為平方數的個位數可能是 0、1、4、5、6、9,已知 0 < a ≦ 9 所以a值可能是 1、4、5、6、9。
已知 n
2 是偶數,所以a值可能是 4 或 6 。
如果 a = 4,則 n2 = 10(2x-1)+a= 20x-6 = 2(10x-3)因為 10x-3沒有因數2,所以2(10x-2)不是平方數,可是這和 2(10x-3)=n2 是矛盾的,因此 a≠4。
如果a = 6,則 n2 = 10(2x-1)+a= 20x-4 = 4(5x-1)。
x=1,a=6,n2=16︰第一輪甲拿10元,乙拿6元。
x=2,a=6,n2=36︰第一輪甲和乙都拿10元,第二輪甲拿10元,乙拿6元。
x=3,a=6,n2=56︰第一輪甲和乙都拿10元,第二輪甲和乙都拿10元,第三輪甲拿10元,乙拿6元。
.....
可知最後一輪,甲拿10個一元銅板,而乙只拿 6 個一元銅板。若要兩人的銅板數一樣多,假設甲需要拿y個銅板給乙
,則
10-y=6+y,得 y=2,所以甲需要拿2個銅板給乙

     


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