平分銅板

有一堆一元銅板，總個數是一個平方數。甲和乙兩人輪流從這一堆銅板堆裡一次拿出10個銅板，直到最後一輪甲還可拿出10個銅板，可是乙卻拿不足10個銅板。則甲需給乙多少個銅板，兩人的銅板數量才會一樣多？

因為兩人可以平分銅板，所以總數是偶數，因此銅板總數是偶數的平方數。
假設有n²個銅板，最後一輪第x輪，甲還可以拿出10個銅板，但是乙只拿到 a 個，其中 a是整數且 0 < a ≦ 9 ，因此 n² =2×10(x-1)+10+a=10(2x-1)+a。
因為平方數的個位數可能是 0、1、4、5、6、9，已知 0 < a ≦ 9 ，所以a值可能是 1、4、5、6、9。
已知 n² 是偶數，所以a值可能是 4 或 6 。
如果 a = 4，則 n² = 10(2x-1)+a= 20x-6 = 2(10x-3)。因為 10x-3沒有因數2，所以2(10x-2)不是平方數，可是這和 2(10x-3)=n²是矛盾的，因此 a≠4。
如果a = 6，則 n² = 10(2x-1)+a= 20x-4 = 4(5x-1)。
x=1，a=6，n²=16︰第一輪甲拿10元，乙拿6元。
x=2，a=6，n²=36︰第一輪甲和乙都拿10元，第二輪甲拿10元，乙拿6元。
x=3，a=6，n²=56︰第一輪甲和乙都拿10元，第二輪甲和乙都拿10元，第三輪甲拿10元，乙拿6元。
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可知最後一輪，甲拿10個一元銅板，而乙只拿 6 個一元銅板。若要兩人的銅板數一樣多，假設甲需要拿y個銅板給乙，則10-y=6+y，得 y=2，所以甲需要拿2個銅板給乙。