年齡的秘密

^{年紀的秘密}

^{小柯今年13歲，他有一位姊姊22歲，一位哥哥17歲，而父親今年49歲，母親44歲。小柯發現一個隱藏在家人之間的一個年齡秘密。}

^稱謂	^年紀(歲)	^{各位數字相加(直到剩一位數字)}
^小柯	¹³	^{1 + 3 = 4}
^姊姊	²²	^{2 + 2 = 4}
^父親	⁴⁹	^{4 + 9 = 13，1 + 3 = 4}
^哥哥	¹⁷	^{1 + 7= 8}
^母親	⁴⁴	^{4 + 4= 8}

^{他分別將自己、姊姊和父親的年齡的各位數字相加直到剩一位數字，結果是一樣的，都是
4。而分別將哥哥和母親的年齡的各位數字相加(直到剩一位數字)，結果是一樣的，都是
8。但是為何自己和母親不同呢？這秘密的背後隱藏著什麼事實呢？}

其實，「如果 N是正整數，S是各位數字相加的和 ,則 N mod 9 = S mod 9。」

其中，N mod 9 表示 N除以9的餘數。

^{﹝說明﹞：}

如果 N的各位數字分別是^x₁^{,
x}_2,^{... , x}_n^，則
N=10^n-1x₁+10^n-2x₂+..............+10x_n-1+x_n，其中，10^m=999.....999+1，這裡的999.......999有m-1位，每位數都是 9。

所以，N=999....999x₁+99....99x₂+.........+9x_n-1+( x₁+x₂+x₃+.....+x_n)，

這裡999....999x₁的係數有n-2位9；999....999x₂的係數有n-3位9。

令 S= x₁+x₂+x₃+.....+x_n

^{因此， N mod 9 = S mod 9.}

就小柯的家人而言，13 mod 9 = 22 mod 9 = 49 mod 9，而 17 mod 9 = 44 mod 9 ，現在大家應該都知道年紀的秘密了吧。　