正三角形內一點到三頂點距離是一組畢氏數，求其面積

正三角ABC內一點P，PA=4，PB=5，PC=3。則三角ABC的面積是多少 ?

3-4-5是畢氏數

將三角形ABP以A點為旋轉點，逆時鐘旋轉60°，到三角形ACB'的位置。

將三角形BCP以B點為旋轉點，逆時鐘旋轉60°，到三角形ABC'的位置。

將三角形CAP以C點為旋轉點，逆時鐘旋轉60°，到三角形CBA'的位置。

三角ABC的面積等於六邊形AC'BA'CB'的一半，而

六邊形AC'BA'CB'=(正三角形APB'+正三角形BPC'+正三角形CPA')+(直角三角形APC'+直角三角形BPA'+直角三角形CPB')

六邊形AC'BA'CB'的面積=$\large\frac{\sqrt{3}}{4}$(4²+5²+3²)}$+$\large\frac{1}{2}$(3×3×4)=

$\large\frac{25\sqrt{3}}{2}$+18

因此三角ABC的面積等於 $\large\frac{25\sqrt{3}}{4}$+9。

只要正三角形ABC內一點P到三個頂點的距離是一組畢氏數(a，b，c)，其中c²=a²+b²。則

角ABC的面積=$\large\frac{\sqrt{3}}{8}$(a²+b²+c²)+$\large\frac{1}{4}$(3ab)=

$\large\frac{\sqrt{3}}{8}$(c²+c²)+$\large\frac{1}{4}$(3ab)=$\large\frac{\sqrt{3}}{4} $c²+$\large\frac{1}{4}$(3ab)=$\large\frac{\sqrt{3}c^2+3ab}{4}$