梭形

交叉直角扇形

以正方形邊長a為半徑，分別以4個頂點為圓心各畫$\frac{1}{4}$圓，4個$\frac{1}{4}$圓有重疊區域(藍色區域)，則重疊區域的面積是多少？大約佔原來正方形面積的幾分之幾？

參考下圖，只要移去正方形的四個全等，剩下的區域(藍色部分)即為所求，那麼要如何計算的面積？

正方形的邊長是a，△ABE是邊長為a的正三角形，△ABE的面積是$\large\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$。

半徑a且圓心角60^∘的扇形面積是$\large\frac{\pi a^2}{6}$。

所以弦長a且圓心角60^∘的弓形的面積是$\large\frac{\pi a^2}{6}$-$\large\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$。

計算的面積，由半徑a且圓心角30^∘的扇形移去弦長a且圓心角60^∘的弓形。

因此，的面積等於$\large\frac{\pi a^2}{12}$-($\large\frac{\pi a^2}{6}$-$\large\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$)=-$\large\frac{\pi a^2}{12}$+$\large\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$=$\large\frac{3 \sqrt{3}-\pi }{12}$a²。

所以，4個$\frac{1}{4}$圓的重疊區域(藍色部分)的面積是a² - 4$\large\frac{3 \sqrt{3}-\pi }{12}$a² =$\large\frac{3- 3\sqrt{3}+\pi }{3}$a² ≒$\large\frac{1}{3}$a²