交叉直角扇形
以正方形邊長a為半徑,分別以4個頂點為圓心各畫$\frac{1}{4}$圓,4個$\frac{1}{4}$圓有重疊區域(藍色區域),則重疊區域的面積是多少?大約佔原來正方形面積的幾分之幾?
參考下圖,
只要移去正方形的四個全等,剩下的區域(藍色部分)即為所求,那麼要如何計算
的面積?
正方形的邊長是a,△ABE是邊長為a的正三角形,△ABE的面積是$\large\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$。
半徑a且圓心角60∘的扇形面積是$\large\frac{\pi a^2}{6}$。
所以弦長a且圓心角60∘的弓形的面積是$\large\frac{\pi a^2}{6}$-$\large\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$。
計算的面積,
由半徑a且圓心角30∘的扇形移去弦長a且圓心角60∘的弓形。
因此,的面積等於$\large\frac{\pi
a^2}{12}$-($\large\frac{\pi
a^2}{6}$-$\large\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$)=-$\large\frac{\pi
a^2}{12}$+$\large\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$=$\large\frac{3
\sqrt{3}-\pi }{12}$a2。
所以,4個$\frac{1}{4}$圓的重疊區域(藍色部分)的面積是a2
- 4$\large\frac{3
\sqrt{3}-\pi }{12}$a2
=$\large\frac{3- 3\sqrt{3}+\pi }{3}$a2
≒$\large\frac{1}{3}$a2
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