偶位數的光棍數

每位數字都是1的整數稱為光棍數。

因為

$(\frac{10^k-1}{3})^2$=$\frac{10^{2k}-2\times10^{k}+1}{9}$=$\frac{10^{2k}-2\times10^{k}-1+2}{9}$=$\frac{(10^{2k}-1)-2(10^{k}-1)}{9}$

所以

$\frac{10^{2k}-1}{9}$=$\frac{2(10^k-1)}{9}$+$(\frac{10^k-1}{3})^2$

因此

$\underbrace{1111\cdots11}_{ 2k個1 }$=$\underbrace{22\cdots2}_{ k個2 }$+$\underbrace{(33\cdots3)^2}_{ k個3 }$

$11=2+3^2$

$1111=22+33^2$

$111111=222+333^2$

$11111111=2222+3333^2$

$1111111111=22222+33333^2$

$111111111111=222222+333333^2$

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