巧用退位減法速算交換首末數字差

將一個 n 位數的首位數字和末位數字交換位置得一新數，n ≧ 2，計算原數和新數的相減差(大數減小數)。如果首位數字a_n和末位數字a₁的 n 位數記做 _，其中  a_n > a₁且 ( a_n - a₁₎ × 9 = de ，則可以速算，而其背後數學道理只是運用了退位減法。

可以這樣計算 (1)  75 - 57 =( 7 - 5 ) × 9 = 18 。(2)  82 - 28 = ( 8 - 2 ) × 9 = 54。但是為什麼呢？理由如下

將十位數字是 a，個位數字是 b的二位數記做 ab 。如果 a > b，則 ab - ba =( 10a + b ) - ( 10b + a ) =  [( 10 + b ) - a] + [ 10(a-1) - 10b ]  = 10 - ( a - b ) + [ 10(a-b) -10 ]  = 9( a - b )。

如何速算 572 - 275=？

先計算 ( 5-2 ) × 9 = 27，

所以 572 - 275 = 297 ， 首末位數字分別是2、7，中間是9。為什麼可以這樣計算呢？理由如下

如果 x 是一位數正整數，則 9x = ( 10 - 1 )x = 10x - x = 10( x - 1 ) + ( 10 - x )，因為 9x 的十位數字是 ( x - 1 )，個位數字是 ( 10 - x )，所以 9x 的數字和是 (x-1)+(10-x) = 9。

將百位數字是  a，十位數字是  b，個位數字 c 的三位數記做 abc 。如果 a > c，且 ( a - c ) × 9 = de 則 速算 abc - cba  得 d9e  ，其中 d + e = 9。

 abc - cba =( 100a + 10b + c ) - ( 100c + 10b + a ) =  [( 10 + c ) - a ] + [ 100 + 10(b-1) - 10b ] + [ 100( a - 1 ) - 100c ] = 99( a - c ) = 11 × 9( a - c ) =10 × de  + de =de0  + de = d(e+d)e = d9e 。

可以推廣得知，如果 a_n > a₁，且 ( a_n - a₁ ) × 9 = de   ，n ≧ 2，則 n位數 。

例如：

5位數 81152 - 21158 = 59994 ，其中 (8-2) × 9 = 54，並連續有 (5-2)個 9 。

7位數  6920173 - 3920176 = 2999997，其中 (6-3) × 9 = 27，並連續有 (7-2)個 9 。