除以11的餘數

求12345678910111213.........9899除以11的餘數

648=100×6+10×4+8=(11×9+1)×6+(11-1)×4+8=(11×9×6)+6+(11×4)-4+8=11(9×6+4)+(6-4+8)

因此 649除以11的餘數是(8-4+6)=10。

可以推廣之，六位數100000a+10000b+1000c+100d+10e+f 除以11的餘數等於 (f-e+d-c+b-a)除以11的餘數。

同餘的性質：

如果 a≡ b (mod m)，c≡ d (mod m)，則 a±c≡ b±d　(mod m)且ac≡ bd　(mod m)。

引理：如果n是偶數，則10ⁿ≡ 1 (mod 11)。如果n是奇數，則10ⁿ≡ -1 (mod 11)。

問題1：「12345678910除以11的餘數是多少?」

12345678910=123456789×10²+10

123456789×10²≡(9-8+7-6+5-4+3-2+1)×1 (mod11)

(9-8+7-6+5-4+3-2+1)×1=5 ≡5(mod11)

123456789×10²+10≡5-1 (mod 11)。

因此12345678910≡4 (mod 11)，即 12345678910除以11的餘數是4。

問題2：「1234567891011121314151617181920除以11的餘數是多少?」

1234567891011121314151617181920=12345678910×10²⁰+11121314151617181920

1234567891011121314151617181920≡4×1+(0-2+9-1+8-1+7-1+6-1+5-1+4-1+3-1+2-1+1-1) (mod11)

1234567891011121314151617181920≡4×1+34 (mod11)

因此1234567891011121314151617181920≡5 (mod11)

所以1234567891011121314151617181920除以11的餘數是5

問題3：「123456789101112131415161718192021222324252627282930除以11的餘數是多少?」

123456789101112131415161718192021222324252627282930=

1234567891011121314151617181920×10²⁰+21222324252627282930

123456789101112131415161718192021222324252627282930≡5×1+(0-3+9-2+8-2+7-2+6-2+5-2+4-2+3-2+2-2+1-2) (mod11)

123456789101112131415161718192021222324252627282930≡5×1+(34-10) (mod11)

123456789101112131415161718192021222324252627282930≡7 (mod11)

所以123456789101112131415161718192021222324252627282930除以11的餘數是7。

問題4：「123456789101112131415161718192021..........9596979899除以11的餘數是多少?」

綜合上述3個問題可以推廣之並歸納如下

12345678910111213................90×10¹⁸+919293949596979899≡7×1+(9-9+8-9+7-9+6-9+5-9+4-9+3-9+2-9+1-9) (mod 11)

7×1+(9-9+8-9+7-9+6-9+5-9+4-9+3-9+2-9+1-9)=-29≡4 (mod 11)

所以123456789101112131415161718192021..........9596979899除以11的餘數是4。