有規律平方數

尋找下列平方數的數字規律

$(\frac{10^n+2}{3})^2$

$(\frac{10^n+5}{3})^2$

$(\frac{10^n+8}{3})^2$

1156

1225

1296 ※

111556

112225

112896

11115556

11122225

11128896

1111155556

1111222225

1111288896

$(\frac{2\times10^n+1}{3})^2$

$(\frac{2\times10^n+4}{3})^2$

$(\frac{2\times10^n+7}{3})^2$

4489

4624

4761 ※

444889

446224

447561

44448889

44462224

44475561

4444488889

4444622224

4444755561

$(\frac{3\times10^n+3}{3})^2$

$(\frac{3\times10^n+6}{3})^2$

$(\frac{3\times10^n+9}{3})^2$

121

144

169

10201

10404

10609

1002001

1004004

1006009

100020001

100040004

100060009

10000200001

10000400004

10000600009

如果 a和b都是小於10的自然數且a+b是3的倍數，則當n=1、2、3、......，$(\frac{a\times10^n+b}{3})^2$的數字有規律。

$(\dfrac{51}{3})^2$=289

$(\dfrac{501}{3})^2$=27889

$(\dfrac{5001}{3})^2$=2778889

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$(\dfrac{5\overbrace{0\cdots0}^{ (n-1)個 0 }1}{3})^2$=$2\underbrace{7\cdots7}_{ (n-1)個 7 }8\underbrace{8\cdots8}_{ (n-1)個 8}9$，n是自然數。

$2\underbrace{7\cdots7}_{ (n-1)個 7 }8\underbrace{8\cdots8}_{ (n-1)個 8}9$

= $2\times10^{2n}+8\times10^n+9+\dfrac{7}{9}(10^{2n}-10^{n-1})+\dfrac{8}{9}(10^n-10)$

= $\dfrac{1}{9}(18\times10^{2n}+72\times10^n+81+7\times10^{2n}-7\times10^{n+1}+8\times10^n-80)$

= $\dfrac{1}{9}(25\times10^{2n}+10\times^n+1)$

= $\dfrac{1}{9}(5\times10^n+1)^2$

= $(\dfrac{5\times10^n+1}{3})^2$

延伸閱讀︰關於一類特殊的完全平方數，連威翔