| 圖一，P點可能在矩形邊上(含頂點)或內部，如果P點到各頂點的距離分別是 a、b、c、d，如何計算出 a2 + b2 + c2 + d2的最小值與最大值呢? 可以通過P點分別做長寬的平行線如圖二，於是 a2 = x2 + y2 ， 0 ≦ x ≦ f， 0 ≦ y ≦ e b2 = (f - x)2 + (e - y)2 c2 = (f - x)2 + y2 d2 = x2 + (e - y)2 |
 |
|
a2 + b2 + c2 + d2
= 2 [ x2 + y2 + (f - x)2
+ (e - y)2 ] = (f - 2x)2 + (e - 2y)2
+ (e2 + f2) ≧ e2 + f2
...(1) 因為 0 ≦ x ≦ f，於是 -2f ≦ -2 x ≦ 0， -f ≦ f - 2 x ≦ f，所以 ( f - 2 x)2 ≦ f2 同理， ( e - 2 y)2 ≦ e2 可見 a2 + b2 + c2 + d2 = (f - 2x)2 + (e - 2y)2 + (e2 + f2) ≦ 2( e2 + f2 ) ...(2) 綜合上述(1)(2)可知 a2 + b2 + c2 + d2的 最小值 = e2 + f2 最大值 = 2 ( e2 + f2 ) 這也就是說 P點是矩形對角線交點時， P點到各頂點距離的平方和最小。 P點是矩形頂點時， P點到各頂點距離的平方和最大。 |
|