巧看循環小數 (2)

$1\over7$=$0.\overline {142857}$$1\over17$=$0.\overline{0588235294117647}$$1\over19$=$0.\overline{052631578947368421}$$1\over23$=$0.\overline{0434782608695652173913}$$1\over29$=$0.\overline{0344827586206896551724137931}$
$1\over47$=$0.\overline{0212765957446808510638297872340425531914893617}$

上列的單位分數$1\over n$ 分別乘以2、3、......、(n-1),都還是循環小數,其循環節是$1\over n$ 化成循環小數的循環節的旋轉排列,例如

$1\over17$=$0.\overline{0588235294117647}$$2\over17$=$0.\overline{1176470588235294}$$3\over17$=$0.\overline{1764705882352941}$$4\over17$=$0.\overline{2352941176470588}$$5\over17$=$0.\overline{2941176470588235}$$6\over17$=$0.\overline{3529411764705882}$

$7\over17$=$0.\overline{4117647058823529}$$8\over17$=$0.\overline{4705882352941176}$$9\over17$=$0.\overline{5294117647058823}$$10\over17$=$0.\overline{5882352941176470}$$11\over17$=$0.\overline{6470588235294117}$$12\over17$=$0.\overline{7058823529411764}$

$13\over17$=$0.\overline{7647058823529411}$$14\over17$=$0.\overline{8235294117647058}$$15\over17$=$0.\overline{8823529411764705}$$16\over17$=$0.\overline{9411764705882352}$

循環節是0588235294117647的旋轉排列,如右圖。

這樣的單位分數$1\over n$ 有很多,舉500以內的n值就包含 7、17、19、23、29、47、59、61、97、109、113、131、

、149、167、179、181、193、223、229、233、263、269、313、337、367、379、383、389、419、433、461、487、491、499。

將$1\over n$化作小數(n是正整數),此小數若是循環小數,而且將它分別乘以1、2、3、......、(n-1)仍然是循環小數,則取它們的循環節並依序將它們由上而下排列,可得(n−1)×(n−1)的方陣,其中每一行的各數的和等於每一列各數的和,可惜不必然等於對角線各數的和。可是W. S. Andrews 卻發現一個數,並發表在他的著作《Magic Squares and Cubes》(1917年出版)裡的第176頁,$a\over19$=$0.\overline{052631578947368421}$×a,a=1~18,取其循環節構成18×18的方陣,方陣的每行的各數和等於每列的各數和,而且等於對角線各數和,此例的和是81,如下圖(此圖摘錄自原書)。


 

 

 

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巧看循環小數 (1)


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