rectangle_Pythagorean

矩形與畢氏定理

已知矩形ABCD，AB ≧ 2 AD。

以AB為直徑作圓交CD於E點，則△AEB是直角三角形，其中∠AEB=90°。

因為AB//DC，所以∠BAE=∠AED且∠ABE=∠BEC。

因此△BAE~△AED~△EBC(AA相似)，得 BA：AE：BE=AE：ED：AD=EB：BC：EC。

如果BA=e，AE=b，BE =a，則 e：b：a=b：ED：AD= a：BC：EC，因此 ED = b²/e，AD= ab/e，BC =ab/e，EC =a²/e 。

矩形ABCD 中，直角△BAE的面積是矩形ABCD的1/2。

因為直角△AED面積與直角△EBC的面積相加和等於直角△BAE的面積，所以

ED × AD + BC × EC = AE × BE ，即 [ (b²/e)×( ab/e)]+[(ab/e)×(a²/e)] =ba，

所以 (ab³/e² )+(a³b/e² )=ba，(b²/e² )+(a²/e² )=1，得 b²+a²=e²。