凸四邊形的重心

 

如右圖,將四邊形ABCD懸掛在空中並且維持平衡使得四邊形ABCD和地面平行,I點是△ABD的重心,J點是△CBD的重心,IJ//PQPI//DL//QJ。根據槓桿原理,若ILJL=△CBD面積:△ABD面積,則懸掛點L就是四邊形ABCD的重心。那麼該如何在IJ上取得L點(凸四邊形ABCD的重心)呢﹖

I點是△ABD的重心,J點是△CBD的重心,IJDB於K點。

△ABD面積:△CBD面積=△DIB面積:△DJB面積。

IN垂直於DBJM垂直於DG,N點和M點都是垂足。
△DIB面積:△DJB面積=
INJM
因為直角△INK~直角△JMK,所以
INJM=IKJK

因此△DIB面積:△DJB面積=IKJK,即△ABD面積:△CBD面積=IKJK

根據槓桿原理,並且假設L點是凸四邊形ABCD的重心,也就是說,L在IJ上且滿足△ABD面積:△CBD面積=JLIL,則JLIL=IKJK,則重心L點在IJ的哪個位置。

因為I、KL、J四點共線,所以一定要取JL=IK,也因此得IL=JK

由以上說明可知,如要取得四邊形ABCD的重心,可使用四邊形ABCD的一條對角線,把四邊形分成兩個三角形,再分別取得這兩個三角形的重心I點和J點。連結這兩個重心成一線段且交上述對角線於一點K,選其中一個重心,並以此重心到K點的距離作為半徑,另外一個重心為圓心畫圓弧交IJ 於L點,L點就是四邊形ABCD的重心。(可參考右上圖) 


 

相關資源: 三角形的重心(愛學網) 含槓桿原理說明


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