三維畢氏定理
如果你在三維直角座標系的X,Y,Z軸的正向上分別取三點A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),那麼四面體的四個面面積有一個關係式,即(△ABC面積)2=(△AOB面積)2+(△COB面積)2+(△AOC面積)2,這關係式與二維直角座標系直角三角形的畢氏定理:斜邊2=股2+股2相似,可以視(△ABC面積)2=(△AOB面積)2+(△COB面積)2+(△AOC面積)2為三維直角座標系的畢氏定理。
直角△AOB面積=ab,△COB面積=
cb,△AOC面積=
ac。
△ABC的AB長=,BC長=
,CA長=
,
令CD長=x,則AD長是-x,如此,BC2-CD2=BA2-AD2,(
)2-x2=(
)2-(
-x)2,
化簡後得
x=。
由畢氏定理知△BCD的BD邊長h==
,所以△ABC面積=
=
。
因此,(△ABC面積)2=(△AOB面積)2+(△COB面積)2+(△AOC面積)2。
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