總是完全平方數

「如果等差數列的首項、公差都是自然數，則數列中連續四項的連乘積加上公差的4次方一定是完全平方數。」

某等差數列的的首項和公差d都是自然數，數列中連續四項分別是x、(x+d)、(x+2d)、(x+3d)，則
x(x+d)(x+2d)(x+3d)+d⁴是完全平方數。

因為 x(x+d)(x+2d)(x+3d)+d⁴

=[x(x+3d)][(x+d)(x+2d)]+d⁴

=(x²+3dx)[(x²+3dx)+2d²]+d⁴

=(x²+3dx)²+2d²(x²+3dx)+(d²)²

=(x²+3dx+d²)²

所以 x(x+d)(x+2d)(x+3d)+d⁴是完全平方數。