同分母的所有假分數的和

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公分母非最簡真分數相加和

公分母是9的所有非最簡真分數有 $\frac{1}{9}$ 、 $\frac{2}{9}$ 、 $\frac{3}{9}$ 、 $\frac{4}{9}$ 、 $\frac{5}{9}$ 、 $\frac{6}{9}$ 、 $\frac{7}{9}$ 、 $\frac{8}{9}$ 。

觀察下列算式

$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$ =1

$\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$ = $\frac{3}{2}$

$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}$ =2

$\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}$ = $\frac{5}{2}$

$\frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{3}{7}+\frac{4}{7}+\frac{5}{7}+\frac{6}{7}$ =3

$\frac{1}{8}+\frac{2}{8}+\frac{3}{8}+\frac{4}{8}+\frac{5}{8}+\frac{6}{8}+\frac{7}{8}$ = $\frac{7}{2}$

發現到「如果公分母是奇數則所有非最簡真分數的相加和是整數;如果公分母是偶數則所有非最簡真分數的相加和不是整數。」

公分母是n的所有非最簡真分數包含 $\frac{1}{n}$ 、 $\frac{2}{n}$ 、 $\frac{3}{n}$ 、.......、 $\frac{n-1}{n}$ 共n-1個分數，其相加和是 $\large\frac{\frac{(n-1)[1+(n-1)]}{2}}{n}$ = $\frac{n-1}{2}$ ，如果n是奇數則和是整數，例如公分母是101的所有非最簡真分數相加的和是50。