一題多解

課堂中多留一點時間給學生,鼓勵學生從不同數學觀點面向問題,往往能激發學生多面向思考,並在熱烈的互動討論中引發出一題多解。

今天313班數學課的學習內容之一就是承接第五冊第3章第2節例題2,直線DE垂直平分AB,而且DA=DC,則∠1=∠2。要求同學證明∠ABC=90° 。
昌爸先引發問題,關於垂直平分線,請教同學有何看法?
世澤:線段有唯一中垂線
嘉玲:中垂線上任一點到線段端點等距離
昌爸:很好,謝謝兩位將昨天所討論的結果,再次為同學闡明。
現在,我們就根據已知條件,這包括了題目已經明確提出的,或我們所知的相關性質,可以參考圖形。請大家認真思考並提出自己的見解。

達鈞:根據外角定理,我知道∠ADB=∠2+∠C。
因為D點在AB的中垂線上,所以DA=DB。又DA=DC,
因此DB=DC,所以∠2=∠C。我推知∠ADB=2∠2。
因為∠A=∠1,且∠A+∠1+∠ADB=180°,推知2∠1+2∠2=180°,因此∠1+∠2=90° 。
昌爸:很好,達鈞運用了外角定理和內角和定理解決了問題。是否還有不同見解的同學?

峻鳴:我從相似形觀點來看這個問題。
因為2AE=AB,且2AD=AC,∠A=∠A。由SAS相似性質,判定△DAE∼△CAB,因此∠DEA=∠CBA。而DE⊥AB,即∠DEA=90°,因此∠CBA=90°。
昌爸:峻鳴的解析很特別,活用了相似形性質。簡單清楚的完成論證。從相似切入問題相當SMART。
還有不同見解的同學要發表嗎?

岱宥:老師,我有更間單易懂得方法。
因為DA=DB,所以∠A=∠1。又DC=DA=DB,所以∠2=∠C。
我使用三角形內角和恆為180度的事實,推論出∠A+(∠1+∠2)+∠C=180°,因此2(∠1+∠2)=180°,∠1+∠2=90° 。
昌爸:岱宥的方法是很簡單易懂,只運用了三角形內角和定理。也是很棒的證明。
這問題,能引起大家的熱烈討論並踴躍提出見解和同學分享。昌爸也從中獲益良多,真是教學相長。

以上是民國90年12月25日耶誕節,昌爸在313班數學課的實況剪影。



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