質數等差數列

質數等差數列(arithmetic progressions of primes)

歐幾里德(Euclid)於西元前300年在其著作幾何原本的第九卷提出「質數有無限多個」。(Euclid's Elements, Book IX, Proposition 20)

近代的數學家以常用的數學語法來詮述歐幾里德的想法如下：
任意有限個質數P1、P2、P3、....、Pn，令Q=P1×P2×P3×....×Pn+1。

如果Q是質數，則Q是不同於P1、P2、P3、....、Pn的質數。....(1)

例如2×3+1=7，7是不同於2和3的質數；2×3×5+1=31，31是不同於2、3、5的質數；2×3×5×7+1=211，211是不同於2、3、5、7的質數；2×3×5×7×11+1=2311，2311是不同於2、3、5、7、11的質數。

如果Q不是質數，則Q可以質因數分解，其質因數是不同於P1、P2、P3、....、Pn的質數。....(2)

例如2×3×5×7×11×13+1=30031，30031不是質數，30031=59×509，其中59和509是異於2、3、5、7、11、13的質數。2×3×5×7×11×13×17+1=510511，510511不是質數，510511=19×97×277，其中19、97、277是異於2、3、5、7、11、13、17的質數。

由(1)(2)可知質數有無限多個。

知名華裔數學家陶哲軒與格林曾在2004年4月18日發表：「存在任易長度的質數等差數列」(there are arbitrarily long arithmetic progressions of primes)。

所謂質數等差數列就是質數構成的等差數列，數列的項數就是質數等差數列的長度。例如
5，7是長度為2的質數等差數列，
3，7，11是長度為3的質數等差數列，
251，257，263，269 是長度 4 的質數等差數列，
5，17，29，41，53 是長度 5 的質數等差數列，
迄今，經先進計算機找到的質數等差數列的長度是23，這個數列的首項是56211383760397，公差是44546738095860，末項是1036239621869317。

　

參考資料:

Euclid's Elements, Book IX, Proposition 20