回文數

    蘇試的七言律詩 《題金山寺》：

潮隨暗浪雪山傾，遠浦漁舟釣月明。

橋對寺門松徑小，檻當泉眼石波清。

迢迢綠樹江天曉，靄靄紅霞晚日晴。

遙望四邊雲接水，碧峰千點數鷗輕。

把它倒轉過來讀，也是一首完整的七言律詩：

輕鷗數點千峰碧，水接雲邊四望遙。

晴日晚霞紅靄靄，曉天江樹綠迢迢。

清波石眼泉當檻，小徑松門寺對橋。

明月釣舟漁浦遠，傾山雪浪暗隨潮。

《題金山寺》無論是順讀或倒讀，都能呈現情景交融的意境，被譽為是回文詩的上乘佳作。而在正整數中也有類似情形，比如2002就是一個很特殊的四位數，無論從左而右讀數或從右而左讀數都是一樣的，這樣的數稱作「回文數」。就西元年份而言，在21世紀是只有西元2002年 ，2002是回文數。過了2002年，則需再過110年，才會出現下一個回文數2112， 但這已經是22世紀了。此外，2222、2332、2442、2552、2662、2772、2882、2992也都是回文數。上述各數都是11的倍數，其他11的倍數的回文數還有下列諸數：

目前得助於電腦的強大運算能力，我們發現，在完全平方數、完全立方數中的回文數的個數，其比例要比正整數中的回文數所占的比例多得多。例如11²＝121，22²＝484，26²＝676，7³＝343,11³＝1331……都是回文數。

但是迄今還沒有找到四次方、五次方，以及更高次方的回文質數(是質數且是回文數)。於是數學家們猜想：「如果k≥4，其中n、k都是正整數，則不存在n^k 形式的回文數」。這就留待對此有興趣的你來證明了。或許你將會是下一個懷爾斯，他證明了費瑪猜想是正確的。

回文數中存在無限多個質數11，101，131，151，191……。除了11以外，所有回文質數的位數都 應該是奇數。假設一個回文質數的位數是偶數，則它的奇數位的數字和與偶數位的數字和必然相等；根據數的整除性理論，可以判斷這數能被11整除，所以它就不會是質數了。

在西元1984年4月份出刊的 Scientific American內有一篇關於回文數的專題，提到 另一個猜想：「任何一個正整數與它的倒序數相加，所得的和再與和的倒序數相加，……如此反復進行下去，經過有限次步驟後，最後必定能得到一個回文數。」
例如：

        (1) 38＋83＝121

        (2) 69＋96＝165，165＋561＝726，726＋627＝1353，1353＋3531＝4884

        畢竟，目前數學家還沒有證明是否在有限次步驟後，就一定可以得到回文數。但是，
        在電腦的運算下，我們到發現10,000以內的數大約 80% 經過4次或更少的步驟就可以得
        到回文數。但是196這個數，按照上述變換規則重複運算，至今仍未得到回文數。我們無法
        肯定運算下去是否可以得到回文數，當然也不知道需要再運算多少步驟才能得到回文數。

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