牛頓的牛吃草問題

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牛頓的牛吃草問題

牛頓在《廣義算術》（Arithmetica Universalis，1707年）提出一個問題：「牧場上整片草原上的草生長速率一樣，如果三頭牛在二星期吃完 2 畝地的草；而二頭牛在四星期吃完 2 畝地的草。則需要多少頭牛，才能在六星期吃完 6 畝地的草？」 (假設每星期增加的草量相同，每頭牛在相同時間的食量相同)

假設牧場每一畝地原有草量x，每星期增加草量y，則一畝地二星期後的草量是x+2y，一畝地二星期後的草量是x+4y。

已知「3 頭牛在2星期吃完 2 畝地的草」，即3頭牛2星期的食草量是2(x+2y)，因此

每一頭牛每星期的食草量是 $\large\frac{2(x+2y)}{3\times 2}$ = $\large\frac{x+2y}{3}$ 。....(1)

已知「2 頭牛在4星期吃完 2 畝地的草」，即2頭牛4星期的食草量是2(x+4y)，因此

每一頭牛每星期的食草量是 $\large\frac{2(x+4y)}{2\times 4}$ = $\large\frac{x+4y}{4}$ 。....(2)

由(1)(2)知 $\large\frac{x+2y}{3}$ = $\large\frac{x+4y}{4}$ ，得x=4y。即每一頭牛每星期的食草量是2y。

假設a頭牛在六星期吃完 6 畝地的草，則每頭牛每星期的食草量是 $\large\frac{6(x+6y)}{a\times 6}$ = $\large\frac{x+6y}{a}$ = $\large\frac{10y}{a}$ 。

因為 $\large\frac{10y}{a}$ =2y，所以a=5，也就是說，5頭牛在六星期吃完 6 畝地的草。