縫隙

Processing math: 100%

縫隙

將一個邊長是8的正方形，依上圖剪裁，然後拼成長寬分別是13和5的長方形。正方形的面積是 8× 8 = 64，而長方形的面積是 5×13 = 65，為什麼長方形的面積比正方形大1?其實長方形中間部分是有縫隙的，而縫隙的面積正好是1。

西元1680年發現斐波數列有一個性質： $F^2_{n}-F_{n-1}\times F_{n+1}=(-1)^{n+1}$ 。正方形的邊長8，長方形的寬長是 5、13，它們是斐波數列的相鄰三項， 8²- 5 × 13 = (-1)⁶⁺¹= -1。

「如果剪裁正方形，然後拼成等積長方形。可能嗎？」

如果(x+y)²= (x+x+y)x，則x² - xy - y² = 0。

令 t = $\large\frac{x}{y}$ ，則t² - t - 1 = 0，解得 t = $\large\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 。

當 $\large\frac{x}{y}$ = $\large\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ，也就是依黃金分割剪裁正方形就可以重組成等積的長方形。

延伸閱讀：世界名題欣賞斐波那契數列(九章出版社)