分油

農夫到油行想買兩袋5公升的麻油，可是油行只有10公升、7公升、3公升三種量杯。那麼，油行老闆如何用這3個量杯，倒出兩個5公升的麻油呢？

這3個量杯是否可以完成老闆和農夫的需求。如果量杯的容積分別是10公升、6公升、4公升或是10公升、8公升、2公升，是否也可以完成老闆和農夫的需求呢？

首先，油行老闆以10公升的量杯裝滿麻油，再將麻油在3個量杯之間倒來倒去，直到有兩個量杯的麻油體積是5公升。而這「倒來倒去」的過程，就數學來說，就是在不同量杯之間麻油容量體積上進行加減運算。

假設老闆將麻油倒進7公升的量杯x次；麻油由7公升量杯倒進3公升的量杯y次，因為最後7公升量杯內裝5公升麻油，所以7x-3y=5。

y=$\large\frac{7x-5}{3}$=2x-2+$\large\frac{x+1}{3}$。

令t=$\large\frac{x+1}{3}$，t 是正整數。則x=3t-1，y=2(3t-1)-2+t=7t-4。

取t=1時，x=2，y=3。也就是說在倒麻由的過程中，老闆將麻油倒進7公升的量杯2次；麻油由7公升量杯倒進3公升的量杯3次。可以完成老闆和農夫的需求，倒出兩杯各5公升的麻油。

如果以(a,b,c)表示容積10公升、7公升、3公升量杯內麻油的容量，則過程是
(10,0,0)-->(3,7,0)-->(3,4,3)-->(6,4,0)-->(6,1,3)-->(9,1,0)-->(9,0,1)-->(2,7,1)-->(2,5,3)-->(5,5,0)。

如果量杯的容積分別是10公升、6公升、4公升，照上述假設，6x-4y=5，(6,4)=2不是5的因數，所以這個不定方程式沒有整數解。而8x-2y=5也沒有整數解，因此容積10公升、6公升、4公升的量杯或是10公升、8公升、2公升都無法完成老闆和農夫的需求的。