等比數字方塊

數字方塊上第1層正方形的四個頂點各填上一個數,將相鄰兩頂點上的數相減求差(大數-小數),並將此差填寫在邊上的中點上。連接4個中點成下一層正方形,循上述步驟,幾回之後終究會出現一層正方形,其頂點上的數字都是相同的。這個課題已是中小學科展科展的常客,請參考下列的延伸閱讀連結。
而我們今天所討論的數字方塊,第一層正方形的頂點依序是首項為1,公比是r的等比數列,r=1時,顯然第1層正方形頂點都是1。
如果第1層正方形頂點依序是1、r、r2、r3,其中r是整數且 r > 1,則各層正方形其頂點上的數如下:


第1層 1 r r2 r3
第2層 r-1 r(r-1) r2(r-1) r3-1
第3層 (r-1)2 r(r-1)2 r2-1 r(r2-1)
第4層 (r-1)3 (r-1)2(r+1) (r-1)(r2+1)







如果r=2時,第4層第2個數是(r-1)(-r2+2r+1)。如果r≧3時,第4層第2個數是(r-1)(r2-2r-1)。

因此,如果r=2

第1層 1 r r2 r3
第2層 r-1 r(r-1) r2(r-1) r3-1
第3層 (r-1)2 r(r-1)2 r2-1 r(r2-1)
第4層 (r-1)3 (r-1)(-r2+2r+1) (r-1)2(r+1) (r-1)(r2+1)
第4層 1 1 3 5
第5層 0 2 2 4
第6層 2 0 2 4
第7層 2 2 2 2












如果r≧3時
第1層 1 r r2 r3
第2層 r-1 r(r-1) r2(r-1) r3-1
第3層 (r-1)2 r(r-1)2 r2-1 r(r2-1)
第4層 (r-1)3 (r-1)(r2-2r-1) (r-1)2(r+1) (r-1)(r2+1)
第5層 2(r-1) 2r(r-1) 2(r-1) 2r(r-1)
第6層 2(r-1)2 2(r-1)2 2(r-1)2 2(r-1)2








綜合上述可知

如果第1層正方形頂點依序是1、r、r2、r3

(1) r=1,第1層正方形頂點1、1、1、1。
(2) r=2,第7層正方形頂點2、2、2、2。
(3) r≧3,第6層正方形頂點都是2(r-1)2

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