圖示連續自然數的立方和
觀察下列圖示,可知1個邊長1的正方形、2個邊長2的正方形、3個邊長3的正方形的面積總和是1×12+2×22+3×32 。
經過等積轉換成為一個兩股長分別是(1+2+3)和(4×3)的直角三角形,面積是$\large\frac{1}{2}$(1+2+3)(4×3)。
所以,1×12+2×22+3×32 = 13+23+33 =$\large\frac{1}{2}$(1+2+3)(4×3)。
推廣知, 1×12+2×22+3×32 +......+n×n2 = 13+23+33 +......+n3 = $\large\frac{1}{2}$(1+2+3+......+n)[(n+1)n]。
因此,13+23+33 +......+n3 = $\large\frac{1}{2}$×$\large\frac{1}{2}$[n(n+1)][(n+1)n]=$(\large\frac{n(n+1)}{2})^2$
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