判斷7、11、13的倍數

因為7×11×13=1001，可知1001是7的倍數。此外，
(10³)²=(1001-1)²=1001²-2×1001×1+1²，因此10⁶除以7的餘數是1，所以10⁶-1是7的倍數。
可推廣知(10³)²ⁿ-1是7的倍數，其中n是自然數。例如︰10⁶-1、10¹²-1、10¹⁸-1、10²⁴-1等都是7的倍數。
(10³)³=(1001-1)³=1001³-3×1001²×1+3×1001×1²-1³，因此10⁹除以7的餘數是6，所以10⁹+1是7的倍數。
可推廣知(10³)²ⁿ⁺¹+1是7的倍數，其中n是非負整數。例如︰10³+1、10⁹+1、10¹⁵+1、10²¹+1等都是7的倍數。

以六位數987654，七位數9876543、十位數9876543210為例，分別判別其是否是7的倍數?

987654=987×(1001-1)+876=987×1001-987+654，已知1001是7的倍數，所以檢查(-987+654)是否是7的倍數，就可知987654是否是7的倍數。因為(-987+654)不是7的倍數，所以987654不是7的倍數。

9876543=9×10⁶+876×1000+543=9×(10⁶-1)+9+876×1001-876+543
因為10⁶-1、1001都是7的倍數，所以檢查(9-876+543)是否是7的倍數，就可知9876543是否是7的倍數。
因為9-876+543=-324不是7的倍數，所以987654不是7的倍數。

9876543210=9×10⁹+876×10⁶+543×10³+210=
9×(10⁹+1-1)+876×(10⁶-1+1)+543×(10³+1-1)+210=
9×(10⁹+1)-9+876×(10⁶-1)+876+543×(10³+1)-543+210因為10⁹+1、10⁶-1、10³+1都是7的倍數，所以檢查(-9+876-543+210)是否是7的倍數，就可知9876543210是否是7的倍數。
因為-9+876-543+210=534不是7的倍數，所以9876543210不是7的倍數。

判斷是否為11、13的倍數，其方法如上述。