梅森質數與完全數

完全數(Perfect number)的所有真因數相加的和等於完全數本身，而梅森質數型如2^p-1，其中p是質數。

如果一個梅森質數是2^p-1，其中p是質數，則 2^p-1(2^p-1)是完全數。為什麼？

以M(P)表示梅森質數 2^p-1，則 2^p-1M(P)的所有正因數有1，2，2²，2³，.....，2^p-1和M(P)，2M(P)，2²M(P)，2³M(P)，.....，2^p-1M(P)_。

因為 2^p-1M(P)的所有真正因數和

= (1+2+2²+2³+.....+2^p-1)+M(P)(1+2+2²+2³+.....+2^p-2)

= ($\large\frac{2^{p}-1}{2-1}$)+(2^p-1) ($\large\frac{2^{p-1}-1}{2-1}$)

= (2^p-1)+(2^p-1)(2^p-1-1)

= (2^p-1)(1+2^p-1-1)

= (2^p-1)(2^p-1) =M(P) (2^p-1)_，所以 2^p-1M(P)是完全數。

2018年1月3日找到第50個梅森質數M(77232917)是2^77232917-1，由上述可知 2^77232916( 2^77232917-1)是完全數。