月牙面積和定理

AB為直徑的半圓O的面積=直角三角形(甲)面積+弓形(丁)面積+弓形(戊)面積。
BC為直徑的半圓的面積=弓形(丁)面積+月牙(乙)面積。
AC為直徑的半圓的面積=弓形(丙)面積+月牙(戊)面積。

AB為直徑的半圓O的面積-BC為直徑的半圓的面積-AC為直徑的半圓的面積=(甲+丁+戊)-(丁+乙)-(丙+戊)=甲-乙-丙。
因為直角三角形ABC,∠C是直角,所以$\overline{AB}^2$=$\overline{BC}^2$+$\overline{AC}^2$,因此
$\large(\frac{1}{2})\pi(\frac{\overline{AB}}{2})^2$=$\large(\frac{1}{2})\pi(\frac{\overline{BC}}{2})^2$+$\large(\frac{1}{2})\pi(\frac{\overline{AC}}{2})^2$,

AB為直徑的半圓O的面積=BC為直徑的半圓的面積+AC為直徑的半圓的面積
因為
甲+丁+戊=(乙+丁)+(丙+戊),所以甲=乙+丙,因此直角三角形ABC的面積等於月牙乙和月牙丙的面積和。

相關連結︰月牙面積和定理 (ggb)


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