櫃子的謎題

叔父的遺產(櫃子的謎題)

這道題來自Ted ED 「你能解決這道100個櫃子的謎題嗎？Can you solve the locker riddle? - Lisa Winer」

一位家財萬貫的叔叔希望將全部遺產贈與姪女，卻擔心其他的親戚可能會心生不甘而爭奪遺產。叔叔在生前留下遺囑給公證的律師，並教會姪女一些用的著的數學觀念，遺囑內交待能第一個解開第一道謎題，同時能完整詳細說明解題所引用的數學性質者，才能獲得第二道謎題，解開第二道謎題會獲得遺產保險箱的鑰匙密碼。...觀看影片內容可連結Ted ED「Can you solve the locker riddle?」

第一道謎題：

「密室裡有100個櫃子，分別編號1、2、3、...,100，每個親戚會分配到1~100其中一個數，每個人分配到的數字不會重複。
分配1號的人會打開所有櫃子，之後，
分配2號的人會關閉每個2的倍數的櫃子。
分配3號的人會把每個3的倍數的櫃子的狀態反轉，也就是說，本來開著的櫃子，就關上它;本來關著的櫃子，就打開它，接下來的人持續這樣的程序直到100個人都做完，
最後，哪些號碼的櫃子是打開著的？」

題解：
每一個櫃子第1次被接觸是被打開，第2次被接觸是被關閉，第3次被接觸又被打開，第4次被接觸又被關閉，第5次被接觸又被打開，.....，可知被接觸奇數次的櫃子是打開的。
1號櫃只被分配1號的接觸1次，最後櫃子的狀態是開著;
2號櫃被分配1號和2號的接觸，共被接觸2次，最後櫃子的狀態是關閉;
3號櫃被分配1號和3號的接觸，共被接觸2次，最後櫃子的狀態是關閉;
4號櫃被分配1號、2號、4號的接觸，共被接觸3次，最後櫃子的狀態是開著;
5號櫃被分配1號和5號的接觸，共被接觸2次，最後櫃子的狀態是關閉;
6號櫃被分配1號、2號、3號、6號的接觸，共被接觸4次，最後櫃子的狀態是關閉;....................
發現櫃子被接觸的總次數等於櫃子編號的正因數個數。因為被接觸奇數次的櫃子是打開的，所以櫃子編號的正因數個數是奇數的櫃子是打開的。

引理：「完全平方數的正因數個數是奇數。」
正整數 N=_，其中P₁、P₂、P₃、.....、P_n是N的質因數，a₁~a_n是正整數。
N的正因數個數＝(a₁＋1)(a₂＋1)(a₃＋1)....(a_n＋1)。
如果N是完全平方數，則 a₁ 、a₂、a₃、....a_n都是2的倍數，因此 a₁ +1、a₂+1、a₃+1、....a_n+1都是奇數。
因為奇數乘以奇數的結果還是奇數，所以 (a₁ +1)(a₂+1)(a₃+1)....(a_n+1)的結果是奇數，因此完全平方數的正因數個數是奇數。
由上述引理可知，櫃子編號是完全平方數，最後的狀態是打開的，所以編號 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100的櫃子是打開的，而這10個打開的櫃子裡面藏有以下10個字。

第二道謎題：「密碼是前5個只被接觸2次的櫃子的編號數字。」
題解：
被接觸2次的櫃子的編數數字，此數字只有2個正因數，也就是說此櫃子的編號數字是質數。在1~100的前5個質數是 2、3、5、7、11，所以保險箱的鑰匙密碼是 235711。

參考資料連結：http://ed.ted.com/lessons/can-you-solve-the-locker-riddle-lisa-winer