矩形,直角三角內切圓

長方形ABCD的對角線AC，直角三角形ABC的內切圓O和斜邊相切於K點，過O點作FH//CB，EG//AB。則
(1)長方形DEOF的面積是長方形ABCD的$\dfrac{1}{2}$。
(2)直角三角形ABC的面積=AK×CK。

因為三角形CKO、三角形CGO、三角形OFC都全等，所以鳶形CKOG的面積等於長方形CFOG的面積。

同理可知，鳶形AHOK的面積等於長方形EOHA的面積。

因此直角三角形ABC的面積等於長方形CFOG的面積+長方形EOHA的面積+正方形GOHB的面積。

因為長方形DEOF面積

=長方形ABCD面積-(長方形CFOG的面積+長方形EOHA的面積+正方形GOHB的面積)

=長方形ABCD面積-直角三角形ABC面積

=$\dfrac{1}{2}$×長方形ABCD

因為長方形DEOF面積=直角三角形ABC面積，長方形DEOF面積=EO×FO，
而且EO=AH=AK，FO=CG=CK。所以直角三角形ABC的面積=AK×CK。