海龍公式 Heron's formula
海龍
(Heron)(西元1-75)生於歐幾理得之後350年左右,古希臘亞歷山大里亞(Alexandria)的數學家、力學家、機械學家。海龍在他的著作《Metrica》(測量術)提出Heron's
formula的證明,我們則試著運用切線長和相似三角形來和國中三年級學生一起探索Heron's
formula。
圖一,△ABC的內心是O1,傍心是O2,D、E、F、G和L、K都是切點。
在△ABC,因為AD=AE,BD=BL,CE=CL,所以△ABC的周長=2 (
AD+BL+CE )。
(圖一)
圖二,假設 BC=a,CA=b,AB=c,s=a+b+c2,則AD=AE=s-a,BD=BL=s-b,CE=CL=s-c。
(圖二)
圖三,圓O2,BF=BK=BL+LK。
圓O1,CE=CL=CK+KL。
圓O1和圓O2,AD=AE且AF=AG,所以AF-AD=AG-AE,因此DF=EG。
因為DB+BF=BL+BK=2 DB+LK,且EC+CG=CL+CG=2 CG+LK,所以DB=CG=s-b。
因此 DF-DB=EG-CG,即 BF=EC=s-c。
因為△ADO1~△AFO2,所以 DO1:FO2=(s-a):(s-a)+(s-b)+(s-c)=(s-a):s ...(1)
(圖三)
圖四,直角△CEO1和直角△O2GC,因為CO1平分∠BCA,且CO2平分∠BCG,所以∠O1CE=∠CO2G,
因此△CEO1~△O2GC(AA相似)。
所以EO1:GC=CE:GO2,即EO1:(s-b)=(s-c):GO2
...(2)
(圖四)
假設圓O1半徑=r,圓O2半徑=R,由(1)(2)可知
r:R=(s-a):s且r:(s-b)=(s-c):R,即r=R(s−a)s且rR=(s-b)(s-c)。
因此r=(s−b)(s−c)r(s−a)s,得r2=(s−a)(s−b)(s−c)s,
因此(rs)2=s(s-a)(s-b)(s-c)。
所以△ABC的面積=rs=√s(s−a)(s−b)(s−c),其中
s=a+b+c2。