再敘收藏喜愛的數

任取一個3位數100a+10b+c,其中a、b、c都是正整數且1≦a≦9,0≦b、c≦9,至少兩位數字不同,再將各位數字變換位置得一新的整數,此數可能是1位數或2位數或3位數,例如100c+10a+b。

比較兩數大小,以大數減去小數,如果100c+10a+b較大,則(100c+10a+b)-(100a+10b+c)=
100(c-a)+10(a-b)+(b-c)=
99(c-a)+9(a-b)+(b-c)+(c-a)+(a-b)=9(11(c-a)+(a-b))+(a+b+c-a-b-c)=9(11(c-a)+(a-b)),
顯然計算的結果是9的倍數。

如果將問題延展到更多位數,其中至少有兩位數字不同。將原來的各位數字變換位置得一新的整數,至少要互換兩位數字,再將其中較大數減去小數,其計算的結果是否仍然是9的倍數呢﹖

假設n位數 an×10n-1+an-1×10n-2+an-2×10n-3+......+a2×10+a1,其中1≦an≦9,0≦ai≦9,i=1~n-1,至少兩位數字不同

至少將原來的n位數的兩位數字變換位置得新的整數 bn×10n-1+bn-1×10n-2+bn-2×10n-3+......+b2×10+b1,其中bi是原數的某位數字,i=1~n。假設新數大於原數,這不會失去討論的一般性,因此
(bn×10n-1+bn-1×10n-2+bn-2×10n-3+......+
b2×10+b1)-(an×10n-1+an-1×10n-2+an-2×10n-3+......+a2×10+a1)=
9A+((bn+bn-1+bn-2+......+
b2+b1)-(an+an-1+an-2+......+a2+a1))=9A+0=9A,所以計算的結果必是9的倍數。

據此,在教學現場可以將繁悶的計算題變成猜數字娛樂,老師可以要求學生

(1)、寫下一個整數,至少三位數且至少兩位數字不同
(2)、至少要互換兩位數字得一新的整數。
(3)、將上述兩數相減(大數減小數)求差。
(4)、從差的各位數字,學生收藏一個喜愛的數字(不包括0),再將其餘各位數字相加,並寫出和。

老師以最接近和(要比和大)的9的倍數減去和,結果就是學生收藏的數。

以實例1說明
學生先寫下 60274,再改變位數數字得72046
 ,兩數相減,72046-60274=11772
藏起一個7,並計算1+1+7+2=11。
老師選擇比11大但是最接近11的9的倍數即18,然後18-11=7。

以實例2說明
學生先寫下 60274,再改變位數數字得07426
 ,兩數相減,60274-7426=52848
藏起一個4,並計算5+2+8+8=23。
老師選擇比23大但是最接近23的9的倍數即27,然後27-23=4。

另一個做法,如果528□8是9的倍數,則5+2+8+□+8=23+□是9的倍數,因此2+3+□=5+□是9的倍數
所以□=4

註:規定不藏0,只是避免有兩個結果(0或9)的可能性,影響猜數字的唯一性。例如:□=0~9且□+9是9的倍數,則□是0或9。

相關網頁: 收藏喜愛的數


Copyright ©昌爸工作坊 all rights reserved