再敘收藏喜愛的數

任取一個3位數100a+10b+c，其中a、b、c都是正整數且1≦a≦9，0≦b、c≦9，至少兩位數字不同，再將各位數字變換位置得一新的整數，此數可能是1位數或2位數或3位數，例如100c+10a+b。

比較兩數大小，以大數減去小數，如果100c+10a+b較大，則(100c+10a+b)-(100a+10b+c)=
100(c-a)+10(a-b)+(b-c)=
99(c-a)+9(a-b)+(b-c)+(c-a)+(a-b)=9(11(c-a)+(a-b))+(a+b+c-a-b-c)=9(11(c-a)+(a-b))，
顯然計算的結果是9的倍數。

如果將問題延展到更多位數，其中至少有兩位數字不同。將原來的各位數字變換位置得一新的整數，至少要互換兩位數字，再將其中較大數減去小數，其計算的結果是否仍然是9的倍數呢﹖

假設n位數 a_n×10^n-1+a_n-1×10^n-2+a_n-2×10^n-3+......+a₂×10+a₁，其中1≦a_n≦9，0≦a_i≦9，i=1~n-1，至少兩位數字不同。

至少將原來的n位數的兩位數字變換位置得新的整數 b_n×10^n-1+b_n-1×10^n-2+b_n-2×10^n-3+......+b₂×10+b_1，其中b_i是原數的某位數字，i=1~n。假設新數大於原數，這不會失去討論的一般性，因此
(b_n×10^n-1+b_n-1×10^n-2+b_n-2×10^n-3+......+b₂×10+b₁)-(a_n×10^n-1+a_n-1×10^n-2+a_n-2×10^n-3+......+a₂×10+a₁)=
9A+((b_n+b_n-1+b_n-2+......+b₂+b₁)-(a_n+a_n-1+a_n-2+......+a₂+a₁))=9A+0=9A，所以計算的結果必是9的倍數。

據此，在教學現場可以將繁悶的計算題變成猜數字娛樂，老師可以要求學生

(1)、寫下一個整數，至少三位數且至少兩位數字不同。
(2)、至少要互換兩位數字得一新的整數。
(3)、將上述兩數相減(大數減小數)求差。
(4)、從差的各位數字，學生收藏一個喜愛的數字(不包括0)，再將其餘各位數字相加，並寫出和。

老師以最接近和(要比和大)的9的倍數減去和，結果就是學生收藏的數。

以實例1說明
學生先寫下 60274，再改變位數數字得72046 ，兩數相減，72046-60274=11772
藏起一個7，並計算1+1+7+2=11。
老師選擇比11大但是最接近11的9的倍數即18，然後18-11=7。

以實例2說明
學生先寫下 60274，再改變位數數字得07426 ，兩數相減，60274-7426=52848
藏起一個4，並計算5+2+8+8=23。
老師選擇比23大但是最接近23的9的倍數即27，然後27-23=4。

另一個做法，如果528□8是9的倍數，則5+2+8+□+8=23+□是9的倍數，因此2+3+□=5+□是9的倍數
所以□=4

註:規定不藏0，只是避免有兩個結果(0或9)的可能性，影響猜數字的唯一性。例如:□=0~9且□+9是9的倍數，則□是0或9。

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