何時 a$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$和$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 會相等﹖

 

 

2$\sqrt{\large\frac{2}{3}}$=$\sqrt{2\large\frac{2}{3}}$,3$\sqrt{\large\frac{3}{8}}$=$\sqrt{3\large\frac{3}{8}}$,4$\sqrt{\large\frac{4}{15}}$=$\sqrt{4\large\frac{4}{15}}$,5$\sqrt{\large\frac{5}{24}}$=$\sqrt{5\large\frac{5}{24}}$,6$\sqrt{\large\frac{6}{35}}$=$\sqrt{6\large\frac{6}{35}}$,.....

你可以尋找出上述相等根式的規律嗎﹖

相等的根式 a$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$=$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$存在很多嗎﹖

顯然,當 a = 1, b > 0 ,c > 0  時, a$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$=$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 是不成立的。

如果 1$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$=$\sqrt{1+\large\frac{c}{b}}$,則 $\large\frac{c}{b}$=$\large\frac{b+c}{b}$,c = b+c,得 b = 0 ,這和條件 b > 0 矛盾。

 

假設 當 a > 1,b > 0 ,c > 0 時 ,a$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$=$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 成立,則

$\sqrt{\small{a^2}\large\frac{c}{b}}$=$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ ,$\large\frac{a^2c}{b}$=$\large\frac{ab+c}{b}$,因此 a2c = ab+c,即 c(a2-1) = ab,因此 ${\large\frac{c}{b}}$=$\large\frac{a}{a^2-1}$。

 

 當 a > 1時,$a\sqrt{\large\frac{a}{a^2-1}}$ = $\sqrt{\large\frac{a^3}{a^2-1}}$ = $\sqrt{\large\frac{a^3-a+a}{a^2-1}}$ = $\sqrt{\large\frac{a(a^2-1)+a}{a^2-1}}$ = $\sqrt{a+\large\frac{a}{a^2-1}}$

由上述可知,如果 a > 1,b = a2 - 1 ,c = a , 則 a$\sqrt{\large\frac{c}{b}}$和$\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 會相等。

 

 

 


 

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