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何時 a $\sqrt{\large\frac{c}{b}}$ 和 $\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 會相等﹖

2 $\sqrt{\large\frac{2}{3}}$ = $\sqrt{2\large\frac{2}{3}}$ ，3 $\sqrt{\large\frac{3}{8}}$ = $\sqrt{3\large\frac{3}{8}}$ ，4 $\sqrt{\large\frac{4}{15}}$ = $\sqrt{4\large\frac{4}{15}}$ ，5 $\sqrt{\large\frac{5}{24}}$ = $\sqrt{5\large\frac{5}{24}}$ ，6 $\sqrt{\large\frac{6}{35}}$ = $\sqrt{6\large\frac{6}{35}}$ ，.....

你可以尋找出上述相等根式的規律嗎﹖

相等的根式 a $\sqrt{\large\frac{c}{b}}$ = $\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 存在很多嗎﹖

顯然，當 a = 1， b > 0 ，c > 0 時， a $\sqrt{\large\frac{c}{b}}$ = $\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 是不成立的。

如果 1 $\sqrt{\large\frac{c}{b}}$ = $\sqrt{1+\large\frac{c}{b}}$ ，則 $\large\frac{c}{b}$ = $\large\frac{b+c}{b}$ ，c = b+c，得 b = 0 ，這和條件 b > 0 矛盾。

假設當 a > 1，b > 0 ，c > 0 時，a $\sqrt{\large\frac{c}{b}}$ = $\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 成立，則

$\sqrt{\small{a^2}\large\frac{c}{b}}$ = $\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ ， $\large\frac{a^2c}{b}$ = $\large\frac{ab+c}{b}$ ，因此 a²c = ab+c，即 c(a²-1) = ab，因此 ${\large\frac{c}{b}}$ = $\large\frac{a}{a^2-1}$ 。

當 a > 1時， $a\sqrt{\large\frac{a}{a^2-1}}$ = $\sqrt{\large\frac{a^3}{a^2-1}}$ = $\sqrt{\large\frac{a^3-a+a}{a^2-1}}$ = $\sqrt{\large\frac{a(a^2-1)+a}{a^2-1}}$ = $\sqrt{a+\large\frac{a}{a^2-1}}$

由上述可知，如果 a > 1，b = a² - 1 ，c = a ，則 a $\sqrt{\large\frac{c}{b}}$ 和 $\sqrt{a+\large\frac{c}{b}}$ 會相等。