有趣分數

說明$\frac{1\times3\times5\times7\times\cdots\times(2n-1) }{2\times4\times6\times8\times\cdots\times2n }$<$\sqrt{\frac{1}{2n}}$

$\frac{1\times3}{2\times4}$=$\frac{3}{8}$<$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$。

$\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}$=$\frac{5}{16}$<$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{6}$<$\frac{\sqrt{6}}{6}$=$\sqrt{\frac{1}{6}}$。

$\frac{1\times3\times5\times7}{2\times4\times6\times8}$=$\frac{35}{108}$<$\frac{36}{108}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{\frac{4}{3}}{4}$<$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\sqrt{\frac{1}{8}}$。

由上述這些例子，是否發現甚麼規律？

如果分數的分子是自1開始連乘以連續奇數,總共n個連續奇數的相乘積，分母則是自2開始連乘以連續偶數,總共n個連續偶數的相乘積。

令$\frac{1\times3\times5\times7\times\cdots\times(2n-1) }{2\times4\times6\times8\times\cdots\times2n }$=A ，$\frac{2\times4\times6\times8\times\cdots\times2n }{3\times5\times7\times9\times\cdots\times(2n+1) }$=B。

因為$\frac{1}{2}$<$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$<$\frac{4}{5}$，$\frac{5}{6}$<$\frac{6}{7}$，$\frac{7}{8}$<$\frac{8}{9}$，$\cdots$，$\frac{2n-1}{2n}$<$\frac{2n}{2n+1}$，所以 A<B。

因為 AB=$\frac{1}{2n+1}$ 且AA<AB，所以AA<$\frac{1}{2n+1}$。

因為$\frac{1}{2n+1}$<$\frac{1}{2n}$，所以AA<$\frac{1}{2n}$，因此 A<$\sqrt{\frac{1}{2n}}$。即$\frac{1\times3\times5\times7\times\cdots\times(2n-1) }{2\times4\times6\times8\times\cdots\times2n }$<$\sqrt{\frac{1}{2n}}$。