有趣分數

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說明 $\frac{1\times3\times5\times7\times\cdots\times(2n-1) }{2\times4\times6\times8\times\cdots\times2n }$ < $\sqrt{\frac{1}{2n}}$

$\frac{1\times3}{2\times4}$ = $\frac{3}{8}$ < $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$ = $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}$ = $\frac{5}{16}$ < $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{6}$ < $\frac{\sqrt{6}}{6}$ = $\sqrt{\frac{1}{6}}$ 。

$\frac{1\times3\times5\times7}{2\times4\times6\times8}$ = $\frac{35}{108}$ < $\frac{36}{108}$ = $\frac{1}{3}$ = $\frac{\frac{4}{3}}{4}$ < $\frac{\sqrt{2}}{4}$ = $\sqrt{\frac{1}{8}}$ 。

由上述這些例子，是否發現甚麼規律？

如果分數的分子是自1開始連乘以連續奇數,總共n個連續奇數的相乘積，分母則是自2開始連乘以連續偶數,總共n個連續偶數的相乘積。

令 $\frac{1\times3\times5\times7\times\cdots\times(2n-1) }{2\times4\times6\times8\times\cdots\times2n }$ =A ， $\frac{2\times4\times6\times8\times\cdots\times2n }{3\times5\times7\times9\times\cdots\times(2n+1) }$ =B。

因為 $\frac{1}{2}$ < $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ < $\frac{4}{5}$ ， $\frac{5}{6}$ < $\frac{6}{7}$ ， $\frac{7}{8}$ < $\frac{8}{9}$ $\frac{2n-1}{2n}$ < $\frac{2n}{2n+1}$ ，所以 A<B。

因為 AB= $\frac{1}{2n+1}$ 且AA<AB，所以AA< $\frac{1}{2n+1}$ 。

因為 $\frac{1}{2n+1}$ < $\frac{1}{2n}$ ，所以AA< $\frac{1}{2n}$ ，因此 A< $\sqrt{\frac{1}{2n}}$ 。即 $\frac{1\times3\times5\times7\times\cdots\times(2n-1) }{2\times4\times6\times8\times\cdots\times2n }$ < $\sqrt{\frac{1}{2n}}$ 。