分數的另類減法

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特殊分數的另類減法
　

平常計算 $\large\frac{2}{3}$ - $\large\frac{1}{2}$ ，先通分取公分母[3，2]=6，再計算 $\large\frac{4}{6}$ - $\large\frac{3}{6}$ = $\large\frac{1}{6}$ 。

但是，小明的作法卻是 $\large\frac{2-1}{3\times2}$ = $\large\frac{1}{6}$ ，分母相乘，分子相減。這是否巧合嗎？

再計算一題 $\large\frac{8}{9}$ - $\large\frac{6}{7}$ ，平常作法是 $\large\frac{8\times 7}{9\times7}$ - $\large\frac{6\times 9}{7\times 9}$ = $\large\frac{2}{63}$ 。若照小明的作法是 $\large\frac{8-6}{9\times 7}$ = $\large\frac{2}{63}$ 。

再計算一題 $\large\frac{2}{3}$ - $\large\frac{3}{5}$ ，平常作法是 $\large\frac{2\times 5}{3\times5}$ - $\large\frac{3\times 3}{5\times 3}$ = $\large\frac{1}{15}$ 。照小明的作法是 $\large\frac{2-3}{3\times 5}$ =- $\large\frac{1}{15}$ 。小明在這一題是錯誤的，這是為什麼?

經過觀察，發現兩個異分母相减，如果分母比分子多1，則分母相乘，分子相减，計算結果是正確的。

假設a和b都是自然數，那麼計算 $\large\frac{a}{a+1}$ - $\large\frac{b}{b+1}$ ，照平常作法是

$\large\frac{(b+1)a}{ (b+1)(a+1)}$ - $\large\frac{(a+1)b}{(a+1)(b+1)}$ = $\large\frac{a-b}{(a+1)(b+1)}$ 。