$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$=$\frac{1}{x+y+z}$是否有整數解?

 已知$xyz$≠0，則

 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$=$\dfrac{1}{x+y+z}$是否有整數解?

因為$\dfrac{yz+xz+xy}{xyz}$=$\dfrac{1}{x+y+z}$

$(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz$=0

$x(xy+yz+zx)+y(xy+yz+zx)+z(xy+yz+zx)-xyz$=0

$(x^2y+xyz+x^2z)+(xy^2+y^2z+xyz)+(xyz+yz^2+xz^2)-xyz$=0

$x^2y+xyz+x^2z+xz^2+y^2z+xy^2+xyz+yz^2+xyz-xyz$ =0

$x^2y+xyz+x^2z+xz^2+y^2z+xy^2+xyz+yz^2$=0

$(x^2y+xyz)+(x^2z+xz^2)+(y^2z+xy^2)+(xyz+yz^2)$=0

$xy(x+z)+xz(x+z)+y^2(z+x)+yz(x+z)$=0

$(x+z)(xy+xz+y^2+yz)$=0

$(x+z)[x(y+z)+y(y+z)]$=0

$(x+z)(y+z)(x+y)$=0

所以$x$=-$z$或$y$=-$z$或 $x$=-$y$，即

(x，y，z)=(-s，t，s)或(t，-s，s)或(-s，s，t)，其中s和t都是非0整數。

因此 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$=$\dfrac{1}{x+y+z}$有非0的整數解，

例如(-2，3，2)，(4，-6，6)，(7，-7，-5)...都是其整數解。

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