有趣的運算

計算$\dfrac{(7+8)^3+7^3}{(7+8)^3+8^3}$=?

$\dfrac{(7+8)^3+7^3}{(7+8)^3+8^3}=\dfrac{(7+8)+7}{(7+8)+8}=\dfrac{22}{23}$

計算$\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^3+\sqrt{2}^3}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^3+\sqrt{3}^3}$=?

$\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^3+\sqrt{2}^3}{\sqrt{2}+\sqrt{3})^3+\sqrt{3}^3}=\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

上列計算過程是否正確?還是巧合?

利用和立方公式$(x+y)^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

$(a+b)^3+a^3=((a+b)+a)((a+b)^2-(a+b)a+a^2)=(2a+b)((a+b)^2-ab)$

$(a+b)^3+b^3=((a+b)+b)((a+b)^2-(a+b)b+b^2)=(2b+a)((a+b)^2-ab)$

因此$\dfrac{(a+b)^3+a^3}{(a+b)^3+b^3}=\dfrac{(a+b)+a}{(a+b)+b}=\dfrac{2a+b}{2b+a}$