按比例分配馬匹談分數拆分

曾經討論過一到分配馬匹的數謎：( 參閱17 匹馬  )

「將17匹馬依所囑比例分給三個兒子，大兒子分得其中的$\frac{1}{2}$，二兒子分得其中的$\frac{1}{3}$，小兒子分得其中的$\frac{1}{9}$。兄弟不要爭產，不可以賣掉任何一匹馬，也不可以宰殺馬」。

要設計一道類似數謎，只要找出三個單位分數，並且相加結果是一個分子、分母相差1的真分數。
如上例 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{17}{18}$。

因為 $\frac{17}{18}$= 1 - $\frac{1}{18}$， $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}$= 1，所以只要找出加總和是1的四個不同單位分數，就可以設計出一題類似「17匹馬分配」的數謎。

方法1

可以運用 $\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$拆分單位分數，因為

1 = $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42}$。因此可命題「將41匹馬依所囑比例分給三個兒子，大兒子分得其中的$\frac{1}{2}$，二兒子分得其中的$\frac{1}{3}$，小兒子分得其中的$\frac{1}{7}$。..........」

1 = $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$。因此可命題「將19匹馬依所囑比例分給三個兒子，大兒子分得其中的$\frac{1}{2}$，二兒子分得其中的$\frac{1}{4}$，小兒子分得其中的$\frac{1}{5}$。.......」

方法2

$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}$=1 - $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$=1- $\frac{1}{4}$，因此 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1$。

可命題「將11匹馬依所囑比例分給三個兒子，大兒子分得其中的$\frac{1}{2}$，二兒子分得其中的$\frac{1}{4}$，小兒子分得其中的$\frac{1}{6}$。兄弟不要爭產，不可以賣掉任何一匹馬，也不可以宰殺馬」。

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