碎形數列

一公里寬與一千公里寬的雲朵看起來沒有區別；將楓葉邊緣的一小部分放大，與整片楓葉也沒有區別。數學家曼德布洛特(Benoit Mandelbrot)將這種圖形稱為碎形(fractal)，它具有自我相似性（self-similar），可以不斷地產生重複。如果將圖形持續放大，似乎沒有盡頭，而且放大的部份與原圖形的某部份相似，原來碎形就是由自我相似不斷產生所造成的。

附圖稱為Koch曲線，它就是碎形，將一線段三等分，以中間那一段為邊作一正三角形，然後將每一線段按照這個做法重複下去。可以發現圖形愈分愈細，而且永無盡頭，每一小線段長會趨近於0。

Clark. Kimberling將下列這個數列稱作碎形數列，如果將每一個第一次出現的數刪除，將發現剩下的數列與原來一樣。

C. Kimberling 與 Harris S. Shultz設計過一種翻牌的遊戲，將一套卡片的每一張正面分別印上數字1、2、3、4...、n，數字面朝上，2在1下，3在2下，.......，即由上而下1、2、3。抽出最上面那張，正面朝上擺在這套卡片最後面，並將下一張抽出來擺放在旁邊(新抽出來的擺上頭)，依此規則，直到將原卡片完全抽出擺在旁邊同一疊上，你由這疊卡片上頭第一張往下找，第幾張才會出現數字1。很妙的是，卡片總數與"第幾張"和碎形數列相關，卡片總數等於碎形數列的項次，而該項就是"第幾張"。

例如:一套卡片，每張正面分別印上數字1,2,3,4,5，按照規則，過程圖解如下，所以由上往下找到第3張就是1，而碎形數列的第5項是3。

參考資料:

大自然的數學遊戲(天下文化/史都華著作/ 葉李華譯)
數字的異想世界(商周/ Clifford A.Pickover 著作/ 葉承志、陽台勇譯)