圖示分數大小

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圖示 $\frac{a}{b}$ < $\frac{a+c}{b+d}$ < $\frac{c}{d}$

b>a>0且d>c>0， $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$ ，則如何比較 $\frac{a}{b}$ 和 $\frac{c}{d}$ 和 $\frac{a+c}{b+d}$ 的大小關係？

下列圖示已經可以清楚解釋其關係

分數.gif (2805 個位元組)

也可以用代數法說明

因為 $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$ 且 bd > 0，所以bd× $\frac{a}{b}$ < bd× $\frac{c}{d}$ ，因此 ad < bc。

$\frac{a}{b}$ - $\frac{a+c}{b+d}$ = $\frac{a(b+d)-b(a+c)}{b(b+d)}$ = $\frac{ad-bc}{b(b+d)}$ <0，因此 $\frac{a}{b}$ < $\frac{a+c}{b+d}$ 。

$\frac{c}{d}$ - $\frac{a+c}{b+d}$ = $\frac{c(b+d)-d(a+c)}{d(b+d)}$ = $\frac{cb-da}{b(b+d)}$ >0，因此 $\frac{c}{d}$ > $\frac{a+c}{b+d}$ 。

因此 $\frac{a}{b}$ < $\frac{a+c}{b+d}$ < $\frac{c}{d}$ 。