猴子分食桃子

五隻猴子採了一堆桃子,猴子彼此約定隔天早起後再分食。但是,在半夜堙A其中一隻猴子偷偷起來把桃子均分成五堆後,發現還多一個,它就吃掉這個桃子,並拿走了其中一堆。

第二隻猴子隨後醒過來,也把桃子均分成五堆後,還是多了一個,它也吃掉這個桃子,並拿走了其中一堆。

第三隻,第四隻,第五隻猴子都依續採用同樣的方法分食桃子。那麼原來這堆桃子的數量最少應該有多少個?

我們列方程求解:
設原有桃子x個,第一隻猴子吃掉1個桃子,再拿走餘下桃子的五分之一,剩下個桃子。
第二隻猴子吃掉1個桃子,再拿走餘下桃子的五分之一,剩下 個桃子。
第三隻猴子吃掉1個桃子,再拿走餘下桃子的五分之一,剩下 個桃子。
第三隻猴子吃掉1個桃子,再拿走餘下桃子的五分之一,剩下 個桃子。
第四隻猴子吃掉1個桃子,再拿走餘下桃子的五分之一,剩下 個桃子。
最後一隻猴子也吃掉1個桃子,再拿走餘下桃子的五分之一﹔假設第五隻猴子拿走的桃子數是y個,則按題意可以列式得 
經過化簡、整理,得  256x-3125y=2101  ,
其中 12y+8 是整數,所以 是整數。因為53與256互質,因此 y=255 時 可滿足要求。這時 x = 3121。原來問題有無窮多解,上面求出的只是滿足條件的最小正整數解,也就是說最少有桃子3121個。

此外,有一個巧思妙想的解法:

我們借來4個桃子,這樣桃子數就可以連續5次平均分成5堆了,所以桃子數最少應該是55-4=3121(個)。

 


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