分割正方形成五個等積多邊形

圖一,將正方形五等分成五個長方形。圖二,可參閱過正方形中心點五等分正方形的面積

 

 

圖一

圖二

「下圖,取正方形ABCD的各邊中點E、F、G、H。分別連接AEBHCGDF。則正方形MNKL、直角三角形ADN、直角三角形BAM、直角三角形CBL、直角三角形DCK的面積都等於正方形ABCD面積的$\dfrac{1}{5}$。」

因為E、F、G、H是正方形ABCD的各邊中點,所以直角三角形ADE、直角三角形BAH、直角三角形CBG、直角三角形DCF都全等(SAS全等性質),因此∠1=∠2。因為∠3=∠4(內錯角),∠1+∠4=90°,所以∠2+∠3=90°,因此∠CKF是直角,其對頂角∠LKN也是直角。同理可證∠L、∠M、∠N都是直角,因此KLMN是長方形。...(1)

因為EC=AGEC//AG,所以ECGA是平行四邊形,因此EA//CG

因為E是DC的中點且EN//CK,所以DN=NK。...(2)

三角形DCK和三角形CBL,因為∠1=∠2,∠K=∠L=90°DC=CB,所以三角形DCK和三角形CBL全等(AAS全等性質)。
同理可證直角三角形ADN、直角三角形BAM、直角三角形CBL、直角三角形DCK都全等

 

由(2)知直角三角形ADN、直角三角形BAM、直角三角形CBL、直角三角形DCK的兩股比都是2︰1,而且KLMN的四邊長相等,由(1)知KLMN是正方形。因此正方形MNKL、直角三角形ADN、直角三角形BAM、直角三角形CBL、直角三角形DCK的面積比是1︰1︰1︰1︰1︰1

 

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正方形等積變換十字形

過正方形中心點五等分正方形的面積


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